Сумма обратных к частичным суммам простых чисел

[maxal]

Докажите или опровергните:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{p_1+p_2+\dots+p_n} = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{6},$$

где $p_1=2,p_2=3,\dots$ - простые числа в естественном порядке.

[Руст]

maxal писал(а):

Докажите или опровергните:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{p_1+p_2+\dots+p_n} = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{6},$$

где $p_1=2,p_2=3,\dots$ - простые числа в естественном порядке.

Формула слишком хороша (в стиле формул Рамануджана), чтобы быть верной. Не найдя как приступить к доказательству попробовал вычислить с двойной точностью на С для простых до миллиарда. Сумма не дотянуло до правой части примерно на 0.0001. Легко показать, что ошибка в первом приближении должна быть порядка $\frac{2}{p_n}=2*10^{-9}$. Как видно слишком сильно не сходится, чтобы можно было это считать ошибкой счёта.
Итог. Формула хороша но неверна.

Добавлено спустя 44 минуты 18 секунд:

Руст писал(а):

maxal писал(а):

Докажите или опровергните:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{p_1+p_2+\dots+p_n} = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{6},$$

где $p_1=2,p_2=3,\dots$ - простые числа в естественном порядке.

Формула слишком хороша (в стиле формул Рамануджана), чтобы быть верной. Не найдя как приступить к доказательству попробовал вычислить с двойной точностью на С для простых до миллиарда. Сумма не дотянуло до правой части примерно на 0.0001. Легко показать, что ошибка в первом приближении должна быть порядка $\frac{2}{p_n}=2*10^{-9}$. Как видно слишком сильно не сходится, чтобы можно было это считать ошибкой счёта.
Итог. Формула хороша но неверна.

Интересно, откуда эта формула?
У Рамануджана были забавные формулы, когда некоторые выражения от известных чисел оказались почти целыми с точностью примерно до десятого знака.
Эта формула дает точность не более 4 цифр после запятой и уступает формулам этого гения.

[maxal]

Вторая часть задачи: выразите

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{p_1+p_2+\dots+p_n} = \int_{\alpha}^{\infty} \frac{dx}{Ei(2\ln x)\ln x},$$

где Ei() - это экпоненциальный интеграл:

$$Ei(x)=-\int_{-x}^{\infty}\frac{e^{-t} dt}{t}$$

и определите точное значение $\alpha.$

Добавлено спустя 1 час 9 минут 49 секунд:

P.S. Ноги у этих задач растут из рассылки SeqFan.