оценка решения параболического уравнения в пр-ве Гёльдера

[Nikkei0]

Помогите пожалуйста разобраться

есть краевая задача
$\partial u/\partial t=Lu; x \in [a,b] ; T \ge 0
$Lu=\partial^2 u/\partial x^2+q(x)u(x,t);$
$u(x,0)=w(x);$
$u(a,t)=u(b,t)=0;$

Нужно показать,
что при $w(x) \in \{\ w(x) \in C^2[a,b]: w(a)=w(b)=0 , Lw(a)=Lw(b)=0\}$

выполняется $\|u(x,t)\|C^2 \le K\|w(x)\|C^2$

Своя идеи была применять принцип максимума всяко разно дифференцируя уравнение, но нужных оценок не добилась..
Возможно можно через преобразование лапласа(подсказали), но я совсем в этом не разбираюсь, как это технически выполнить и обосновать

Помогите пожалуйста, очень хочется разобраться...

[zhoraster]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»:
- формулы надо набирать в нотации $\TeX$. Как это делать, можно посмотреть в теме Краткий ФАК по тегу [math].

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Вернул

[sup]

Не надо преобразования Лапласа. А вот принцип максимума - это неплохая идея

Nikkei0 в сообщении #653631 писал(а):

... $L\omega (a) = L\omega (b) = 0$

ну вот и подсказка ...

[Nikkei0]

Извините меня, но эта подсказка мне почему-то непонятна..Может быть объясните как это поможет, мне правда очень необходимо разобраться в этом факте. Мне нужно к уравнению применить еще раз оператор L и для этого уравнения решением которого будет Lu написать принцп максимума? но из этого не следует, то что требуется...

[sup]

Хм, ну вот Вы пишете, что пробовали дифференцировать уравнение. Вот что конкретно Вы пробовали? Можете привести примеры?
Что получится после того, как Вы примените оператор $L$ к уравнению

[Nikkei0]

Получаю$ L(du/dt)=L(Lu) ; L(du/dt)=d/dt(Lu)$
тоесть получаю краевую задачу
$d/dt(Lu)=L(Lu)$
$Lu(x,0)=Lw(x)$
$Lu(a)=Lu(b)=0$

отсюда можем по принципу максимума получить $max|Lu| \le max|Lw(x)|$
отсюда получаем оценку для второй производной по x(если конечно это верно все), а для первой откуда взять?

[sup]

Nikkei0 в сообщении #656545 писал(а):

отсюда можем по принципу максимума получить $\max|Lu| \leq \max|w(x)|$
отсюда получаем оценку для второй производной по x(если конечно это верно все), а дня первой откуда взять?

Ну, положим, получим не
$\max|Lu| \leq \max|w(x)|$
а
$\max|Lu| \leq \max|Lw(x)|$
То есть кое-что уже получили. А что можно отсюда извлечь? Вы знаете, что величина $|Lu|$ ограничена. Что можно сказать про $u$?

К слову. Эта наша оценка получена "не слишком законным образом". Но это мы оставим на потом.

[Nikkei0]

$max|u| \le max|w|$-это мы знаем из принципа максимума для исходного уравнения, поэтому из этого неравенства следует, что $max|d^2u/dx^2| \le max|d^2w/dx^2|$, но этого недостаточно

[sup]

Вы торопитесь ...
Неравенство $\max |u_{xx}| \leqslant \max |\omega_{xx}|$ не следует из предыдущих.
Кстати, Вы ничего не сказали насчет $q(x)$. Какие-то условия на этот коэффициент обязательно нужны. Скорее всего предполагается, что $q(x)$ непрерывна. Предположим, что так и есть. Что дальше?

[Nikkei0]

Да, q(x) непрерывна
Еще бы снизу както оценить..
$||d^2u/dx^2|-|q(x)u|| \le max|d^2u/dx^2+q(x)u| \le max|d^2w/dx^2 + q(x)w(x)| \le |d^2w/dx^2| + |q(x)||w(x)| \le |d^2w/dx^2| + |q(x)||w(x)|$

видимо мысль о непреывность q(x) должна была меня на что то натолкнуть, но я не могу сообразить..

[sup]

Ну замечательно ... $q(x)$ непрерывна, $|u_{xx} + qu|$ и $|u|$ ограничены. Отсюда немедленно следует, что ...
Что следует?

[Nikkei0]

тоесть L переводит ограниченое множество в ограниченое?

[sup]

Да нет же .... Я Вас, похоже, запугал
Отсюда немедленно следует что и $u_{xx}$ ограничена.
Ну а теперь мы имеем ограниченную функцию $u$ с ограниченной второй производной $u_{xx}$.
Что Вы можете сказать про первую производную такой функции?

-- Пн дек 10, 2012 15:28:55 --

К сожалению, мое время на сегодня истекло.
Надеюсь, Вы и самостоятельно сможете оценить первую производную.
Но, это лишь часть дела. По сути мы получили оценки лишь для "очень" гладких решений. Ну в самом деле, мы применили оператор $L$ к уравнению. Ясно что при этом возникают производные 4 порядка по $x$. Более того, если функция $q(x)$ лишь непрерывна и НЕдифференцируема, то применить оператор и вовсе не удастся. Поэтому нужны дополнительные усилия по обоснованию этой оценки. Если Вам этот вопрос интересен, мы можем продолжить обсуждение завтра или в ЛС.

[Nikkei0]

спасибо, уже нашла док-во в литературе через преобразование лапласа