Исследование функции на абсолютный максимум

[arqady]

Найдите наибольшее значение функции

$$f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}$$

[denisart]

$e^2$ ?

[arqady]

denisart в сообщении #656218 писал(а):

$e^2$ ?

Нет, конечно!

[Ktina]

arqady в сообщении #656225 писал(а):

denisart в сообщении #656218 писал(а):

$e^2$ ?

Нет, конечно!

При $x=1$ получаем 4.
А больше, вроде, никак не получить...

[arqady]

Ну да... Это даже я вижу. Теперь бы доказать...

[nikvic]

Прологарифмировать, разложить в ряды, преобразовать?

[arqady]

Мм..дя... Для одной переменной всегда есть убойные методы. Вот что-нибудь простое и симпатичное найти бы...

[nikvic]

Там есть явная "симметрия" относительно 1.

[Praded]

arqady в сообщении #656240 писал(а):

Теперь бы доказать...

Умножьте сначала. А там и сами увидите.

[arqady]

Что на что Вы предлагаете умножить? Что я должен там увидеть?

[Keter]

Применив неравенство Гюйгенса

$$\bigg( 1+ \dfrac{1}{x} \bigg)^x \bigg( 1+x \bigg)^{\frac{1}{x}} \le (1+x^{\frac{1}{x}})(1+x^{-x})$$

Осталось доказать, что $\max \{ (1+x^{\frac{1}{x}})(1+x^{-x}) \}=4.$

[arqady]

Keter в сообщении #658395 писал(а):

Применив неравенство Гюйгенса

$$\bigg( 1+ \dfrac{1}{x} \bigg)^x \bigg( 1+x \bigg)^{\frac{1}{x}} \le (1+x^{\frac{1}{x}})(1+x^{-x})$$

Объясните, пожалуйста, как Вы здесь применили неравенство Гюйгенса?
Напомню, что оно выглядит так:

$$(1+x_1)(1+x_2)\cdot...\cdot(1+x_n)\geq\left(1+\sqrt[n]{x_1x_2\cdot...\cdot x_n}\right)^n$$

для неотрицательных $x_i$.

[Keter]

arqady, рассматриваем $f(x), x \in \mathbb{R}^{+}.$ Для скобочки $(1+1/x)^x$ положим $a_1=(1/x)^x, n=x,$ тогда

$$(1+1/x)^x=\Big( 1+\sqrt[x]{(1/x)^x} \Big)^x \le 1+(1/x)^x.$$

Аналогично для второй: $a_1'=x^{(1/x)}, n'=1/x,$

$$(1+x)^{(1/x)}=\Big( 1+\sqrt[(1/x)]{x^{(1/x)}} \Big)^{(1/x)} \le 1+x^{(1/x)}.$$

Перемножая неравенства имеем

$$f(x) \le \Big( 1+(1/x)^x \Big) \Big( 1+x^{(1/x)} \Big).$$

-- 14.12.2012, 22:23 --

^
^
^

Корень-то $n$-ой степени

Хоть и произошел некий перегрев, следующее неравенство правильное:

$$f(x) \ge \Big( 1+(1/x)^x \Big) \Big( 1+x^{(1/x)} \Big).$$

И максимум у той функции, что справа, достигается при $x=1$ и равен четырем Почему?

arqady, Вы говорите о красивом методе. Если смотреть с точки зрения методики, как найти наибольшее значение такой функции? Только не производная

[arqady]

Keter в сообщении #658500 писал(а):

arqady, Вы говорите о красивом методе. Если смотреть с точки зрения методики, как найти наибольшее значение такой функции? Только не производная

В моём решении есть производная, но оно мне не нравится не из-за неё...

[Keter]

arqady, можете привести Ваше решение? У меня эта задача уже два дня из головы не выходит. Уже порядочно листиков исписал. Пробовал предельные соотношения, неравенства.. но так ничего и не придумал нормального..