Исследование функции на абсолютный максимум

[Keter]

Пусть $y=f(x)$, максимум $f(x)$ достигается при том же $x$ что и у $\ln y=\dfrac{1}{x} \ln (1+x)+x \ln \bigg( 1+ \dfrac{1}{x} \bigg)$, $y'=\dfrac{x(1-x)+(x^2-1)(x+1) \ln (x+1) - x^2 (x+1) \ln x}{x^2(1+x)}$. Нули производной видно издалека, максимум при $x=1$.

[Keter]

Какие есть подобные задачки?

[arqady]

Keter в сообщении #658923 писал(а):

arqady, можете привести Ваше решение?

Вот здесь оно:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 3#p2875023
Простите, что отреагировал с опозданием.

Keter в сообщении #658969 писал(а):

Какие есть подобные задачки?

Oт одной переменной мне нравится следующая:

Для неотрицательных $x$ докажите, что:

$$(e^x-1)\ln(1+x)\geq x^2$$

[Руст]

arqady в сообщении #661718 писал(а):

Для неотрицательных $x$ докажите, что:

$$(e^x-1)\ln(1+x)\geq x^2$$

Пусть $y=\ln(1+x)$. Тогда это эквивалентно
$\frac{e^x-1}{x}\ge \frac{e^y-1}{y}$, т.е. следует из монотонности и $x=e^y-1>y>0$.

[TR63]

arqady в сообщении #656210 писал(а):

Найдите наибольшее значение функции

$$f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}$$

Если это неравенство$f(x)\le4$ рассматривать в натуральных числах, то оно следует из неравенства Коши, которое может быть записано в виде:
$a^{\frac1 n}b^{1-\frac1 n}\le\frac1 n a+(1-\frac1 n)b$
$n\ge2$. Это известное неравенство.
Положим
$a=n+1$, $b^{1-\frac1 n}=(1+\frac1 n)^n$.
Получим:
$\frac{n+1} n+\frac{n-1} n ee^\frac1 {n-1}\le4$, начиная с некоторого номера.
Остаётся доказать возможность перехода к рациональным числам.
Кстати, и неравенство Юнга следует из неравенства Коши.