Минимальный многочлен матрицы

[lampard]

Пусть у нас есть характеристический многочлен матрицы $P(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{k_1}(\lambda-\lambda_2)^{k_2}\ldots (\lambda-\lambda_n)^{k_n}$

Тогда минимальный многочлен будет такой? $Q(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\ldots (\lambda-\lambda_n)$ ?????

Это пытался понять, читая вот это http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0% ... 1%86%D1%8B

[nnosipov]

lampard в сообщении #655932 писал(а):

Тогда минимальный многочлен будет такой? $Q(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\ldots (\lambda-\lambda_n)$ ?????

Нет.

lampard в сообщении #655932 писал(а):

Это пытался понять, читая вот это http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0% ... 1%86%D1%8B

Нашли что читать. Чтобы найти минимальный многочлен матрицы, одного характеристического многочлена мало. Почитайте в каком-нибудь нормальном учебнике про жорданову нормальную форму матрицы --- в её терминах минимальный многочлен легко найти.

[TOTAL]

lampard в сообщении #655932 писал(а):

Пусть у нас есть характеристический многочлен матрицы $P(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{k_1}(\lambda-\lambda_2)^{k_2}\ldots (\lambda-\lambda_n)^{k_n}$

Тогда минимальный многочлен будет такой? $Q(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\ldots (\lambda-\lambda_n)$ ?????

В общем случае нет.

[lampard]

Спасибо. Вот если уже найдена жорданова нормальная форма матрицы, то как найти минимальный многочлен? Какую книжку посоветуете?

[ewert]

lampard в сообщении #655981 писал(а):

Вот если уже найдена жорданова нормальная форма матрицы. То как найти минимальный многочлен? Какую книжку посоветуете?

Да не надо никаких особо так книжек, раз уж жорданова форма типа найдена. Просто элементарно подумайте. Какая наименьшая степень той скобки аннулирует одну конкретную жорданову клетку?... а какая -- все клетки для данного собственного числа , если этих клеток несколько?...

[lampard]

Вот если в таком случае?

Отображение $\mathcal{A}: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ имеет матрицу:

$A=0,25\cdot \begin{pmatrix} -13 & -1 & 1 \\ 4 & -12 & 0 \\ 3 & -1 & -11 \end{pmatrix}$

Характеристический многочлен (собственные числа и вектора проверены вольфрамом http://www.wolframalpha.com/input/?i=ei ... %7D%7D%2F4 )

$(\lambda+3)^3=0$

Алгебраическая кратность $\lambda =- 3$ равна трем. Собственные вектора, соотвествующие этому собственному числу $(1;-1;0)^T$ и $(-1;-3;0)^T$. Геометрическая кратность двум.

Жорданова форма $J=\begin{pmatrix} -3 & 1 & 0\\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}$

А как дальше??

-- 08.12.2012, 23:38 --

ewert в сообщении #655984 писал(а):

Да не надо никаких особо так книжек, раз уж жорданова форма типа найдена. Просто элементарно подумайте. Какая наименьшая степень той скобки аннулирует одну конкретную жорданову клетку?... а какая -- все клетки для данного собственного числа , если этих клеток несколько?...

Вот это пока что не понятно. В моем примере есть 2 жордановые клетки.. Какую из них нужно аннулировать? И что значит аннулировать жорданову клетку?)

[TOTAL]

Собственный и присоединенный вектор. Вот про них почитайте.

[ewert]

lampard в сообщении #655998 писал(а):

В моем примере есть 2 жордановые клетки.. Какую из них нужно аннулировать?

Обе. Вот и прикиньте: которая из них скорее аннулируется после умножения на $(A-\lambda I)^k$?... А ведь нужно-то в конце концов -- аннулировать обе.

[lampard]

TOTAL в сообщении #656004 писал(а):

Собственный и присоединенный вектор. Вот про них почитайте.

Собственные вектора ведь нашел=) $\vec{x}_1=(1;-1;0)^T$ и $\vec{x}_2=(-1;-3;0)^T$

А как поступать, когда 2 собственных вектора? Если собственный вектор один -- знаю. Присоединённые вектора можно найти из решения цепочки систем
$(A-\lambda I)\vec x_{k+1}=\vec x_k$, где $\vec x_1$ -- это собственный вектор. А если их два?

ewert в сообщении #656012 писал(а):

Обе. Вот и прикиньте: которая из них скорее аннулируется после умножения на $(A-\lambda I)^k$?... А ведь нужно-то в конце концов -- аннулировать обе.

Может так, которая $1\times 1$?

[ewert]

lampard в сообщении #656015 писал(а):

Может так, которая $1\times 1$?

После которого "ка" она аннулируется? А после которого -- другая клетка?...

(нет, ну в смысле формально Ваш ответ был верен, осталось только сделать из него формально верный вывод)

[lampard]

ewert в сообщении #656017 писал(а):

После которого "ка" она аннулируется? А после которого -- другая клетка?...

При $k=1$ точно аннулируется. А при $k=2$ нужно уже считать. А для другой клетки тоже нужно считать) (а как вообще можно перемножать матрицу $3\times 3$ на матрицу $2\times 2$ ??)

Так нужно искать присоединенные вектора или необязательно?

[TOTAL]

lampard в сообщении #656015 писал(а):

Собственные вектора ведь нашел=) $\vec{x}_1=(1;-1;0)^T$ и $\vec{x}_2=(-1;-3;0)^T$

А как поступать, когда 2 собственных вектора? Если собственный вектор один -- знаю. Присоединённые вектора можно найти из решения цепочки систем
$(A-\lambda I)\vec x_{k+1}=\vec x_k$, где $\vec x_1$ -- это собственный вектор. А если их два?

Две цепочки векторов получите. Любой вектор из любой цепочки "уничтожится", если его умножить на какую степень $(A-\lambda I)$?

[lampard]

$A=0,25\cdot \begin{pmatrix} -13 & -1 & 1 \\ 4 & -12 & 0 \\ 3 & -1 & -11 \end{pmatrix}$

$B=A-\lambda I=A+3I=0,25\cdot \begin{pmatrix} -13 & -1 & 1 \\ 4 & -12 & 0 \\ 3 & -1 & -11 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0& 3 & 0 \\0 & 0 & 3 \end{pmatrix}=$


$=0,25\cdot \begin{pmatrix} -13 & -1 & 1 \\ 4 & -12 & 0 \\ 3 & -1 & -11 \end{pmatrix}+0,25\cdot \begin{pmatrix} 12 & 0 & 0 \\ 0& 12 & 0 \\0 & 0 & 12 \end{pmatrix}=0,25\cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 4 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

Пусть $\vec{x}_1=(1;-1;0)^T$

$B\cdot \vec{x}_1=\vec{0}$ (по определению собственного вектора)

$B\vec{x}_2=\lambda \vec{x}_2$

Собственные значения вышли нули...

Может это еще пригодится...

(Бред)

$B^2=0,125\cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 16 & 0 & 0 \\ 9 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Проверка http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... %7D%2F4%29

$B^2\cdot \vec{x}_1\ne 0$ http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 0%7D%7D%29

$B^3=\dfrac{1}{64}\cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 64 & 0 & 0 \\ 27 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 29%2F16%29

$$B^3\cdot \vec{x}_1\ne 0$ http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 0%7D%7D%29

$B^4=\dfrac{1}{256}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 256 & 0 & 0 \\ 81 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$B^n=\dfrac{1}{4^n}\cdot \begin{pmatrix} (-1)^n & (-1)^n & 1 \\ 4^n & 0 & 0 \\ 3^n & (-1)^n & 1 \end{pmatrix}$

[TOTAL]

lampard в сообщении #656027 писал(а):

$B\cdot \vec{x}_1=\vec{0}$ (по определению собственного вектора)

Проверьте.

[lampard]

TOTAL в сообщении #656029 писал(а):

lampard в сообщении #656027 писал(а):

$B\cdot \vec{x}_1=\vec{0}$ (по определению собственного вектора)

Проверьте.

Почему-то не вышли нули...

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... %7B0%7D%7D

-- 09.12.2012, 01:16 --

ой, я туплю. Там только один собственный вектор $\vec{x}_1=(0;1;1)^T$

$(\lambda+3)^3=0$

Алгебраическая кратность $\lambda =- 3$ равна трем. Собственный вектор, соотвествующий этому собственному числу $\vec{x}_1=(0;1;1)^T$. Геометрическая кратность 1.

Жорданова форма $J=\begin{pmatrix} -3 & 1 & 0\\ 0 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}$

Сейчас буду искать присоед. вектора. Простите, пожалуйста, за ошибку.

$\vec{x}_1=(0;1;1)^T$

$B\cdot \vec{x}_1=\vec{0}$

$B\cdot \vec{x}_2=\vec{x_1}$

Такая система не имеет единственного решения...

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 29%2F4%3D1

$\vec{x}_2=C\cdot \vec{x}_1+(1;0;1)^T$