Функция делителей [Теория чисел]

[Whitaker]

Здравствуйте, уважаемые друзья!

Пусть $\tau(n)$ - число делителей числа $n$. Как доказать, что для любого $\varepsilon>0$ выполняется

$$\lim \limits_{n\to \infty}\dfrac{\tau(n)}{n^{\varepsilon}}=0$$

Нигде не могу найти доказательство этой теоремы. Наведите пожалуйста на мысли.

[Sonic86]

$\ln n = x_1\ln p_1 + ... + x_s \ln p_s, x_j\geqslant 1$ - переменные, а $p_j$ - константы
$F(x_1,...,x_s)=\ln\tau(n)=\ln(1+x_1)+...+\ln(1+x_s)\to\max$.
Ищем неявный экстремум $F$ при ограничении $\ln n = a_1\ln p_1 + ... + a_s \ln p_s$. Можно воспользоваться методом множителей Лагранжа.
Щас воспользуюсь и напишу, что вышло...

upd: получается какая-то ересь...

[Whitaker]

Sonic86
Да наверняка можно это сделать без множителей Лагранжа (хотя я итак не знаю что это такое )
Искал эту теорему во многих книжках по ТЧ, но что-то не нашел.

[Sonic86]

Нет, это делалось как-то руками...
Оценим $\max\limits_{k\leqslant n}\tau(k)$. Пусть $k=q_1^{a_1}...q_s^{a_s}, q_1<...<q_s$. Если $p_j$ - $j$-е простое число, то $m=p_1^{a_1}...p_s^{a_s}\leqslant k$, а $\tau(m)=\tau(k)$, так что в наибольшее значение принимает одно из чисел вида $p_1^{a_1}...p_s^{a_s}$. Далее, если $p<q,a<b$, то $p^bq^a<p^aq^b$, потому следует брать $a_1\geqslant ...\geqslant a_s$ - если у числа степени в его каноническом разложении отсортировать, то оно больше не станет, а значение $\tau$ у него то же.

А дальше строго, видимо, все-таки методом Лагранжа (эвристически - понятно, показатель равен примерно $\frac{\ln n}{s\ln p_j}$). Разрешаем показателям $a_j$ быть вещественными. Тогда целозначный максимум не превосходит вещественного максимума. А вещественный максимум получается $\sum\limits_{j=1}^s \ln_2 n-\ln s -\ln_2p_j$. Его надо оценивать.

Если кто-то кратко оценит, я не буду писать. Если нет - я оценку выпишу явно, но она страшная будет.

upd: типичный максимум для $n\leqslant 10^7$: $k=2^6\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13$

[Whitaker]

Хотелось бы увидеть немного другое доказательство без всяких методов Лагранжа, если таково вообще существует.

[ex-math]

При $p>e^{1/\varepsilon}$ имеем

$$ \frac{\tau(p^m)}{p^{m\varepsilon}}=\frac{m+1}{p^{m\varepsilon}}\leqslant(m+1)e^{-m}\leqslant1. $$

Для $p\leqslant e^{1/\varepsilon}$ имеем

$$ \frac{\tau(p^m)}{p^{m\varepsilon}}\leqslant\frac{m+1}{2^{m\varepsilon}}\leqslant\frac{e^{\varepsilon\ln2-1}}{\varepsilon\ln2}=c(\varepsilon). $$

Пользуясь мультипликативностью, получаем

$$ \frac{\tau(n)}{n^{\varepsilon}}\leqslant \bigl(c(\varepsilon)\bigr)^{e^{\frac1\varepsilon}}. $$

[Whitaker]

Благодарю Вас, ex-math за ценные подсказки и помощь!