Вторая ветвь параболы

[shau-kote]

Всем доброго времени суток.

Задумался я на досуге вот о какой вещи.
Кривые второго порядка парабола и гипербола могут быть определены как ГМТ, у которых отношение фокального радиуса к расстоянию до директрисы равное $\varepsilon$ - эксцентриситету.
При этом уравнения для параболы и для гиперболы будет абсолютно одинаковые - те же фокус, директриса, только значение $\varepsilon$ различается.
Но при этом у гиперболы вторая ветвь возникает, а у параболы - нет. Почему?

Понятно, что при рассмотрении кривых второго порядка как сечений конуса второй ветви параболы и быть не может, ибо секущая плоскость параллельна образующей конуса.
Но при одинаковом виде аналитических уравнений, задающих параболу и кривую, было бы логично ожидать, что и вид кривой будет совпадать. Однако этого не происходит. Почему?

[ИСН]

Вы как себе представляете родство всех кривых второго порядка? Я так: вот эллипс, начинаем его вытягивать, оставляя один "конец" у себя. Другой конец всё дальше, дальше, потом хоп! - он убежал на бесконечность и его нет. Это парабола. Гнём дальше. Вдруг "тот конец", как бы обойдя вокруг света, появляется с другой стороны и начинает приближаться. Это гипербола.

[Deggial]

В описании ИСН бесконечность удобно мыслить как бесконечно удаленную прямую. И тогда получим описание квадрик на проективной плоскости. Парабола - это эллипс, который касается бесконечно удаленной прямой.

[shau-kote]

Ух ты. Я обычно представлял это иначе - если эллипс растягивать вдоль OX, то он тянется-тянется, потом разрывается в двух точках - получается две параллельные прямые(вырожденный случай), а потом они начинают сгибаться в другую сторону, сначала в параболу, а затем уже в гиперболу.
Моё представление в корне неверно?..

[ИСН]

Общее уравнение кривой второго порядка знаете? Вот возьмём его (ну, пусть эллипс) и будем монотонно менять коэффициент при $y^2$ - к нулю, через ноль и дальше. При этом будет происходить то, что я описал. А Ваш маршрут как описать в терминах простых действий с простыми параметрами?

[Deggial]

shau-kote в сообщении #655235 писал(а):

Ух ты. Я обычно представлял это иначе - если эллипс растягивать вдоль OX, то он тянется-тянется, потом разрывается в двух точках - получается две параллельные прямые(вырожденный случай), а потом они начинают сгибаться в другую сторону, сначала в параболу, а затем уже в гиперболу.
Моё представление в корне неверно?..

Можно и так. 2 параллельные прямые на проективной плоскости считаются вырожденной квадрикой (это когда квадрика касается бесконечно удаленной прямой с двух сторон).

[shau-kote]

ИСН в сообщении #655242 писал(а):

Общее уравнение кривой второго порядка знаете? Вот возьмём его (ну, пусть эллипс) и будем монотонно менять коэффициент при $y^2$ - к нулю, через ноль и дальше. При этом будет происходить то, что я описал. А Ваш маршрут как описать в терминах простых действий с простыми параметрами?

Признаться, я не могу вот так "в голове" варьировать в общем уравнении кривой второго порядка коэффициент при $y^2$ и представлять, как будет меняться кривая.
Но то, что мой вариант преобразования явно не выражается простыми изменениями одного параметра я понимаю.

Но я-то, в общем-то, задавал вопрос несколько с другой стороны.
Мне не даёт покоя не то, как три кривые второго порядка "переходят" друг в друга, а именно тот факт, что при одинаковом виде уравнения (имеется в виду уравнение через $\varepsilon$) у гиперболы возникает вторая ветвь, а у параболы - нет.
У эллипса-то её нет, понятно - там две ветви фактически смыкаются и образуют одну замкнутую кривую.
Но парабола?..

[Deggial]

shau-kote в сообщении #655588 писал(а):

Признаться, я не могу вот так "в голове" варьировать в общем уравнении кривой второго порядка коэффициент при $y^2$ и представлять, как будет меняться кривая.
Но то, что мой вариант преобразования явно не выражается простыми изменениями одного параметра я понимаю.

Это просто $\frac{x^2}{a^2}\pm\frac{y^2}{b^2}=1$ при $b\to\infty$. Но все-таки парабола чуть более общая кривая, нежели пара прямых

-- 07.12.2012, 23:10 --

shau-kote в сообщении #655588 писал(а):

Мне не даёт покоя не то, как три кривые второго порядка "переходят" друг в друга, а именно тот факт, что при одинаковом виде уравнения (имеется в виду уравнение через $\varepsilon$) у гиперболы возникает вторая ветвь, а у параболы - нет.
У эллипса-то её нет, понятно - там две ветви фактически смыкаются и образуют одну замкнутую кривую.
Но парабола?..

А что парабола? У неё в уравнении эксцентриситета нет: $\rho=\frac{p}{1-\cos\varphi}$ (параметр $p$ роли не играет). Это как раз пограничный случай между эллипсом и гиперболой: для эллипса знаменатель больше нуля, для параболы - равен нуля лишь в одной точке, а для гиперболы знаменатель обращается в нуль в двух точках - на отрезке между точками имеем вторую ветвь кривой. Если угодно, парабола имеет одну точку на бесконечности.
В итоге, непонятно, что Вам непонятно.

[shau-kote]

Deggial в сообщении #655608 писал(а):

А что парабола? У неё в уравнении эксцентриситета нет: $\rho=\frac{p}{1-\cos\varphi}$ (параметр $p$ роли не играет). Это как раз пограничный случай между эллипсом и гиперболой: для эллипса знаменатель больше нуля, для параболы - равен нуля лишь в одной точке, а для гиперболы знаменатель обращается в нуль в двух точках - на отрезке между точками имеем вторую ветвь кривой. Если угодно, парабола имеет одну точку на бесконечности.
В итоге, непонятно, что Вам непонятно.

Не-не-не.
Я говорю о том уравнении, что $\frac{|FM|}{|x-d|}=\varepsilon$, где $FM$ - фокальный радиус, а $d$ - соответствующая директриса.

[shau-kote]

И парабола, и гипербола описываются уравнением такого ($\frac{|FM|}{|x-d|}=\varepsilon$) вида, различаются только значения параметра $\varepsilon$.
Но вид кривой разительно отличается.
Собственно, к этому и относился мой изначальный вопрос.

[shau-kote]

Прошу прощения, но я как-то не так сформулировал вопрос, что его никто не понял, если просто никто не знает ответа?..

[Deggial]

Я не могу ответить потому, что с уравнением

shau-kote в сообщении #657658 писал(а):

$\frac{|FM|}{|x-d|}=\varepsilon$

не работал. Но это ведь простая алгебраическая подстановка. Я не думаю, что она должна что-то особое давать при ее анализе. Скорее всего, если ее разобрать, получится нечто аналогичное. У нас ведь $FM$ - он же от $\varepsilon$ зависит? И $d$ тоже зависит. Ну значит уравнение не настолько просто, чтобы думать, что оно по свойствам одинаково для всех кривых.

Или упомянутые параметры от $\varepsilon$ не зависят?

[nnosipov]

shau-kote в сообщении #655925 писал(а):

Но вид кривой разительно отличается.

Ну, бывает. А почему, собственно, он должен быть одинаков?

Из уравнения очевидным образом следует, что при $\varepsilon=1$ точки кривой могут располагаться только в одной полуплоскости, определяемой директрисой (а именно, в той, в которой находится фокус). Поэтому у параболы одна ветвь. Если же $\varepsilon>1$, то --- в обеих полуплоскостях. Вот у гиперболы две ветви и есть. Годится такое объяснение?

[shau-kote]

Deggial в сообщении #657661 писал(а):

Или упомянутые параметры от $\varepsilon$ не зависят?

Если развернуть FM, то получится $\frac{\sqrt{(x-c)^2+y^2}}{|x-d|}=\varepsilon$.
Но, насколько я понимаю, фокальное расстояние, директриса и эксцентриситет - независимые параметры, и определяющие, в общем-то, кривую.
И если при фиксированных $c$ и $d$ мы будем менять $\varepsilon$, то кривая будет изменяться от эллипса к параболе, а потом и к гиперболе.

-- 12.12.2012, 22:00 --

nnosipov в сообщении #657666 писал(а):

Из уравнения очевидным образом следует, что при $\varepsilon=1$ точки кривой могут располагаться только в одной полуплоскости, определяемой директрисой (а именно, в той, в которой находится фокус). Поэтому у параболы одна ветвь. Если же $\varepsilon>1$, то --- в обеих полуплоскостях. Вот у гиперболы две ветви и есть. Годится такое объяснение?

Эмм. А можно поподробнее?
А то мне что-то совсем не очевидно...

[nnosipov]

shau-kote в сообщении #657677 писал(а):

А то мне что-то совсем не очевидно...

Картинку нарисуйте. Если отношение расстояний равно единице, может ли точка располагаться не в той полуплоскости, в которой расположен фокус? Нет. А если отношение расстояний больше единицы, то может? Почему бы и нет.