Теорема Винера-Хинчина

[GAttuso]

Читаю в С.И. Баскаков Радио/технические Цепи и Сигналы.
Положим есть случайный процесс: $X(t)$
Отдельной его реализации $x(t)$ соответствует спектральное представление:

$x(t)=\frac {1} {2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} S_xe^{j\omega t}(\omega) dx$

Тогда функцию корреляции для процесса $X(t)$ можно записать в виде
$R_x(\tau)=\overline{x(t)x(t+\tau)}=\overline{x^*(t)x(t+\tau)}=\frac {1} {{4\pi}^2}\int_{}^{}\int_{-\infty}^{\infty} \overline{S_x(\omega)S^*_x(\omega')}e^{j\omega \tau}e^{j(\omega-\omega')t} d\omega d\omega'$

Или же, что можно переписать как
$R_x(\tau)=\frac {1} {{4\pi}^2}\int_{-\infty}^{\infty}d\omega e^{j\omega \tau}\int_{-\infty}^{\infty} \overline{S_x(\omega)S^*_x(\omega')}e^{j(\omega-\omega')t}d\omega'$

Далее следуют следующие рассуждения: чтобы данный случайный процесс был стационарном в широком смысле необходимо, чтобы корреляционная функция не зависела от времени $t$, для этого логично потребовать, чтобы:
$\overline{S_x(\omega)S^*_x(\omega')}\sim \delta (\omega-\omega')$

Все это понятно, не понятен следующий шаг: далее производится замена в интеграле на:
$\overline{S_x(\omega)S^*_x(\omega')}=2\pi W_x(\omega)\delta(\omega-\omega')$
Где $W_x(\omega)$ - спектр мощности.

Производя эту замену и интегрируя, действительно приходим к результату, о котором говорится в Теореме Винера-Хинчина, но непонятно, почему происходит именно такая замена, и в чем ее суть?
И еще вопрос, в процессе вывода пользуются тем фактом, что входной сигнал - реальная функция, отсюда и происходит безвредная замена на комплексно-сопряженную функцию. А сохранится ли результат для комплексного воздействия?

[profrotter]

GAttuso в сообщении #654754 писал(а):

Все это понятно, не понятен следующий шаг: далее производится замена в интеграле на:
$\overline{S_x(\omega)S^*_x(\omega')}=2\pi W_x(\omega)\delta(\omega-\omega')$
Где $W_x(\omega)$ - спектр мощности.

Производя эту замену и интегрируя, действительно приходим к результату, о котором говорится в Теореме Винера-Хинчина, но непонятно, почему происходит именно такая замена, и в чем ее суть?

Никакой замены тут не было. Некоторую подынтегральную фнукцию из некоторых соображений сочли пропорциональной дельта-функции, а множитель пропорциональности может зависеть от частоты. Возможно проще было сказать, что поскольку корреляционная функция стационарного случайного процесса не зависит от времени, то $\overline{S_x(\omega)S^*_x(\omega')}$ можно представить в виде $\overline{S_x(\omega)S^*_x(\omega')}=2\pi W_x(\omega)\delta(\omega-\omega')$. Согласен, что тут не доказано, что это единственное возможное представление, если Вы об этом. То есть, вопреки тексту учебника (а там написано "логика подсказывает"), логика как раз тут в обратную сторону: если представить в таком виде, то зависимости от времени корреляционной функции не будет, а надо бы наоборот.

Далее интегрирование выполнили с учётом фильтрующего свойства дельта-функции. Потом множитель $W_x(\omega)$ назвали спектром мощности.

GAttuso в сообщении #654754 писал(а):

И еще вопрос, в процессе вывода пользуются тем фактом, что входной сигнал - реальная функция, отсюда и происходит безвредная замена на комплексно-сопряженную функцию. А сохранится ли результат для комплексного воздействия?

Для комплексного случайного процесса комплексное сопряжение там фигурирует по определению: $R(\tau)=\overline{x(t)x^{*}(t+\tau)}$, но это упущено в главе 6, видимо, для простоты.

[profrotter]

Добавлю про пропущенную логику.
Обозначим $f(\omega,\omega')=\overline{S_x(\omega)S^*_x(\omega')}$. Это функция двух переменных. Тогда

$$\int_{-\infty}^{\infty} \overline{S_x(\omega)S^*_x(\omega')}e^{j(\omega-\omega')t}d\omega'=\int_{-\infty}^{\infty}f(\omega,\omega')e^{-j(\omega'-\omega)t}d\omega'.$$

Сделав замену переменной в интеграле $\omega''=\omega'-\omega$, потребуем, чтобы результирующий интеграл не зависел от времени:

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(\omega,\omega+\omega'')e^{-j\omega''t}d\omega''=W(\omega).$$

Величина $W(\omega)$ может не зависеть от $t$, но в общем случае она будет зависеть от $\omega$, поскольку от неё зависит подынтегральное выражение и эта зависимость при интегрировании никуда не исчезнет.
Замечая, что правая часть записанного выражения представляет собой преобразование Фурье, перепишем его в более компактном виде:

$$F_{\omega''}\{f(\omega,\omega+\omega'')\}=W(\omega),$$

где $F_{\omega''}\{\}$ - символ преобразования Фурье по переменной $\omega''$. Взяв обратное преобразование Фурье от левой и правой части получим:

$$f(\omega,\omega+\omega'')=2\pi W(\omega)\delta(\omega'')$$

или

$$f(\omega,\omega')=2\pi W(\omega)\delta(\omega'-\omega).$$

[GAttuso]

profrotter

Премного благодарен за ответ.

profrotter в сообщении #654900 писал(а):

в $\overline{S_x(\omega)S^*_x(\omega')}$ можно представить в виде $\overline{S_x(\omega)S^*_x(\omega')}=2\pi W_x(\omega)\delta(\omega-\omega')$. Согласен, что тут не доказано, что это единственное возможное представление, если Вы об этом.

Вот как раз таки этот факт меня и смущает. Почему именно спектр мощности случайного процесса $W_x(\omega)$? Просто в дальнейшем на этом основании развивается целый ряд различных методов анализа, и вообще, сам по себе результат меня немного удивляет.
Откуда появились $2\pi$ из ваших дальнейших рассуждений я понял, спасибо.

И еще

Цитата:

То есть, вопреки тексту учебника (а там написано "логика подсказывает"), логика как раз тут в обратную сторону: если представить в таком виде, то зависимости от времени корреляционной функции не будет, а надо бы наоборот.

Здесь все вроде нормально. Итоговая функция корреляции не должна зависеть от конкретного времени $t$, а только от разности времени, т.е. от $\tau$, что выполняется.

[profrotter]

GAttuso в сообщении #655022 писал(а):

Откуда появились $2\pi$ из ваших дальнейших рассуждений я понял, спасибо.

Обидно конечно, но я там ошибся. И никто ведь не поправил. Прошу прощения - на скорую руку пишем всегда.
Вот тут:

profrotter в сообщении #654986 писал(а):

Взяв обратное преобразование Фурье от левой и правой части получим:

$$f(\omega,\omega+\omega'')=2\pi W(\omega)\delta(\omega'')$$

$2\pi$ не получится. Оно получилось бы при прямом преобразовании Фурье от константы. Поэтому следует $2\pi$ вводить умышленно вот тут:

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(\omega,\omega+\omega'')e^{-j\omega''t}d\omega''=2\pi W(\omega).$$

Пока $W(\omega)$ только вводится её можно было умножить на любую константу. Сути это не изменило бы. Здесь оказалось удобным умножить на $2\pi$, что и обеспечило в конечном итоге её удобное выражение через корреляционную функцию.

[GAttuso]

profrotter в сообщении #655390 писал(а):

Вот тут:

profrotter в сообщении #654986 писал(а):

Взяв обратное преобразование Фурье от левой и правой части получим:

$$f(\omega,\omega+\omega'')=2\pi W(\omega)\delta(\omega'')$$

$2\pi$ не получится.

Не совсем понял.
Точнее у меня мысли такие, у Вас $W_x(\omega)$ входит в явном виде как в спектральную плотность, так и в саму функцию:

Цитата:

$$f(\omega,\omega')=2\pi W(\omega)\delta(\omega'-\omega).$$

Только появляется дельта функция, это значит, что функция $W_x(\omega)$ постоянная в частотной области. Вот только я уже слегка запутался по какой переменной

Короче, я про то, что если с одной стороны у нас постоянная функция, к примеру $A$, то ей соответствует спектр $2\pi A \delta (\omega)$, и наоборот по принципу дуальности преобразование Фурье. Вот поэтому $2 \pi$ достаточно естественно всплывают.
Нет?

[profrotter]

GAttuso в сообщении #655502 писал(а):

по принципу дуальности преобразование Фурье

$$s(t)\leftrightarrow S(\omega)\Leftrightarrow S^{*}(t)\leftrightarrow 2\pi s^{*}(\omega)$$

$$\delta(t)\leftrightarrow 1$$

$$1\leftrightarrow 2\pi\delta(\omega)$$

[GAttuso]

Да, я Вас понял. $2 \pi$ именно из-за дуальности и всплывают, а не из-за дельта функции.
Теперь совсем грустно стало