Методы Монте-Карло и Симпсона для четырехмерных интегралов

[aaastalm]

И так здравствуйте дорогие форумчане. Заранее всех благодарю за проявленный интерес.
И так есть у меня 4-х мерный интеграл

$$\int_{0}^{t} \int_{0}^{x}\int_{0}^{y}\int_{0}^{z} С 3 q/(4 \pi R^3) dx dy dz$$

.
Для начала расскажу как я его получил. Имеется источник тепла сфера радиусом R=1+sint с переменной плотностью теплоизлучения С единицы объема q. Надо найти общее выделившееся тепло за время t при помощи 4-х мерного интеграла. Брать этот интеграл надо при помощи вышеуказанных методов. Реализовывать методы я буду в MatLabе. Также интеграл надо брать аналитически. Как я понял, чтоб взять его аналитически нужно перейти в сферические координаты, что я и сделал.

$$C 3 q/(4 \pi) \int_{0}^{t}1/R^3 dt\int_{0}^{2 \pi} d\varphi \int_{0}^{R} \rho^2 d \rho \int_{0}^{\pi} \sin(\theta) d\theta $$

Этот интеграл у меня равен

$$C q/t$$

, что естественно неправильно. В чем я ошибся при переходе к сферическим координатам или этот интеграл нужно брать по-другому?
И еще вопрос. Методы Монте-Карло и Симпсона нужно использовать на первоначальном виде интеграла без перехода к сферическим координатам? Просто не могу найти понятной информации по применению данных методов к многомерным интегралам. Для одномерных интегралов информация есть. Как ее применить в данном случае?

[aaastalm]

Разобрался с методами и с их реализацией для многомерных интегралов. Остался вопрос как все-таки осуществить переход к сферическим координатам.

[SpBTimes]

Изначальный интеграл записан неверно. Там пропущен еще какой-то дифференциал. И все они зависят от переменных?
И еще, зачем сферические?

[aaastalm]

SpBTimes в сообщении #654891 писал(а):

Изначальный интеграл записан неверно. Там пропущен еще какой-то дифференциал. И все они зависят от переменных?
И еще, зачем сферические?

Ой сори. В первом интеграле dt забыл. Ну мне кажется аналитически его надо брать в сферических координатах, т.к. x y z зависимы друг от друга. А какой метод можете предложить вы?

[aaastalm]

И еще с ответом я накосячил. Ответ там

$$C q t/2$$

-- 06.12.2012, 20:32 --

Но у меня ощущение, что это неправильный ответ. И еще вопрос как применять МК и Симпсона, если я не знаю четких пределов интегрирования по x y z.

[nikvic]

aaastalm в сообщении #654920 писал(а):

А какой метод можете предложить вы?

Объём шара - около половины объёма описанного куба.
Генерируете точки внутри куба и не используете те, что окажутся вне - и никаких проблем с программированием.
Всё равно основное время займёт вычисление функции.

[aaastalm]

Ну тут дело, в том что я должен взять этот интеграл аналитически любым методом. А вот программировать только при помощи МК и Симпсона. И сравнить решения соответственно. Но как программировать, если нет четких пределов интегрирования. А есть лишь тройной интеграл по объему.

[aaastalm]

Здравствуйте. Имеется интеграл:

$$\int_{0}^{t} \int_{0}^{x}\int_{0}^{y}\int_{0}^{z} С 3 q/4 \pi (1+\sin(t)^3) dx dy dz dt$$

Есть условие

$$\sqrt{x^2+y^2+z^2}=1+\sin(t)$$

$$ q=\operatorname{const}$$

,

$$ C=\operatorname{const}$$

.
Пробовал взять в сферических координатах:
Обозначил:

$$1+\sin(t)=R$$

Получил интеграл в сферических координатах:

$$C 3 q/(4 \pi) \int_{0}^{t}1/R^3 dt\int_{0}^{2 \pi} d\varphi \int_{0}^{R} \rho^2 d \rho \int_{0}^{\pi} \sin(\theta) d\theta$$

В результате имею

$$3 C q/4\pi \int_{0}^{t} 1/R^3 dt 2 \pi R^3/3 [-\cos(\theta)|0\to\pi]=C q t/2$$

У меня ощущение, что интеграл я взял неправильно. Подскажите, что я делаю неправильно.

Deggial:, темы объединены

[Munin]

У меня ощущение, что $1+\sin^3 t\ne(1+\sin t)^3.$

[aaastalm]

Munin в сообщении #655631 писал(а):

У меня ощущение, что $1+\sin^3 t\ne(1+\sin t)^3.$

Ой там в кубе весь знаменатель.

[Munin]

aaastalm в сообщении #654636 писал(а):

Для начала расскажу как я его получил. Имеется источник тепла сфера радиусом R=1+sint с переменной плотностью теплоизлучения С единицы объема q. Надо найти общее выделившееся тепло за время t при помощи 4-х мерного интеграла.

Неясно, то ли у вас радиус переменный, то ли плотность теплоизлучения переменная. Словами написано одно, формулой другое. И даже неясно, что за величины $C$ и $q.$

[aaastalm]

Да вот в том то и дело, что неясно. Получается и C неравномерно распределено по объему, и радиус меняется по 1+sin.

[Munin]

То есть, вы пытаетесь решить задачу, условий которой не поняли? Ну-ну, успехов...

[aaastalm]

Munin в сообщении #656062 писал(а):

То есть, вы пытаетесь решить задачу, условий которой не поняли? Ну-ну, успехов...

Ну как бы я пытаюсь его понять. Как минимум у меня в задаче не сказано как меняется C в зависимости от радиуса. Поэтому я решил предположить, что это константа.

[Munin]

Приведите текст задачи, как можно более полно, и без всяких ваших дальнейших выводов. Может, получится понять лучше.