спектр нелинейного оператора

[matlabist]

Здравствуйте, товарищи математики!

Я сам физик и у меня в процессе исследования векторных бозонов в магнитном поле возникло следующее уравнение:

$ (-\gamma^2 \partial_x^2 +x^2)\varphi +\frac{g}{2}|\varphi|^2\varphi = \varepsilon \varphi $

Очевидно, что если $ g = 0$ мы имеем обычное уравнение квантового осциллятора, которое решается при
$ \varepsilon(g=0) = \gamma (n+\frac{1}{2}) $

Мне необходимо выяснить структуру $\varepsilon(g)$ в нелинейном случае. Самое главное, что меня волнует - минимальное собственное значение $\varepsilon_{\min}(g)$. При $g=0$ оно равно $\gamma/2$. Необходимо узнать, при каких $g$ будет выполнено $\varepsilon_{\min}(g) > 2\gamma$.

Для справки: $\gamma$ - обезразмеренное магнитное поле, $g$ - константа взаимодействия, $\varepsilon$ - энергия частицы.

Возможно, кто-то знает, как называется такое уравнение, в каком направлении искать, есть ли неравенства относительно собственных значений нелинейных операторов и т.д. Заранее спасибо!

[мат-ламер]

Возможно, что не все участники форума знают, что такое собственное значение нелинейного оператора. Можно ли это понятие как-то определить в контексте этой задачи или сформулировать задачу вообще без таких слов?

-- Ср дек 05, 2012 21:07:05 --

Т.е. по аналогии с линейным оператором рассматривать резольвенту $(A-\lambda I)^{-1}$ ?

[matlabist]

Я и сам не до конца понимаю, что ждать от этого уравнения. По идее существует непустое множество таких $\varepsilon$, что уравнение
$ (-\gamma^2 \partial_x^2 +x^2)\varphi +\frac{g}{2}|\varphi|^2\varphi = \varepsilon \varphi $ имеет хотя бы одно решение. Решение при этом должно убывать на бесконечности экспоненциально или сильнее (это из физики процесса следует). Далее: если $g=0$, то есть в линейном случае - это множество ограничено снизу значением $\gamma/2$. Будет ли оно ограничено снизу при произвольном положительном $g$? Если да, то как написать соответствующие оценки?

[ИСН]

пишите теорию возмущений

[matlabist]

Теория возмущений даст энергию как ряд по константе g. Причем ряд степенной. А как доказать в таком случае, что непертурбативные члены будут малы? Что делать если g не мало? Есть ли какие-то оценки снизу для таких задач?

[ИСН]

ничего строгого она не даст, положим, но хоть будете знать, в какую сторону всё поползло.

[g______d]

Может быть, стоит попытаться что-нибудь доказать про уравнение

$$ (-\gamma^2 \partial_x^2+x^2)\varphi+\frac{g}{2}V\varphi=\varepsilon\varphi, $$

зная, что $V$ экспоненциально убывает. Или даже в первом приближении взять в качестве $V$ основное состояние невозмущенной системы.

[sup]

В формулировке, похоже, неточность. Наверное нужно еще и условие нормировки
$\int |\varphi|^2 dx =1$
В противном случае без потери общности можно считать, что $g=1$.
Кроме того, для линейного осциллятора утеряна 2: $\varepsilon = 2\gamma (n+\frac{1}{2})$

matlabist в сообщении #654703 писал(а):

... Будет ли оно ограничено снизу при произвольном положительном $g$

Безусловно будет ограничено той же константой $\gamma$. Ну действительно, умножим уравнение на $\varphi$ и проинтегрируем. Получим

$$ \int (\gamma^2 \varphi_x^2 + x^2\varphi^2 +\frac{g}{2}\varphi^4 )dx = \varepsilon \int \varphi^2 dx $$

Осталось заметить, что

$$ \int (\gamma^2 \varphi_x^2 + x^2\varphi^2)dx \geqslant \gamma \int \varphi^2 dx $$

Это следует из того, что $\varepsilon_0 = \gamma$. Однако это легко показать и непосредственно

$$ \int (\gamma^2 \varphi_x^2 + x^2\varphi^2)dx \geqslant -\int \gamma x 2\varphi_x \varphi dx \geqslant\gamma \int \varphi^2 dx $$

Для оценки $\varepsilon (g)$ можно использовать минимум функционала

$$ J(\varphi) = \int (\gamma^2 \varphi_x^2 + x^2\varphi^2 +\frac{g}{2}\varphi^4 )dx $$

на единичной сфере в $L_2$ (функции с условием нормировки).
Может этой оценки уже и хватит. Минимизировать стоит на линейном пространстве, натянутом на собственные функции линейного осциллятора (благо они известны).
Это, конечно, не оч. строго, но достаточно "просто". Во всяком случае будет ясно о чем идет речь. Для строгих оценок понадобится более тяжелая артиллерия.

-- Чт дек 06, 2012 14:47:53 --

Да почему же в $L_4$ ... в $L_2$. Условие нормировки
$\int \varphi^2 dx =1$
А насчет спектра - можно посмотреть Ландау-Лифшиц квантовая механика. Я там видел этот вывод. Там же есть ссылка на матричный метод вывода (Гейзенберга кажется). Наверное можно погуглить.

[Oleg Zubelevich]

а мне непонятно как для оператора содержащего $x^2$ получили спектр в явном виде

это, что задача на отрезке с нулевыми гран условиями? и что означает $|\varphi|^2$ это что комплекстнозначная функция?

[matlabist]

Дело в том, что уже даже патриархи теории поля (например, Д.В. Ширков), стоявшие у истоков создания теории возмущений, относятся к ней скептически и отдают предпочтение строгим результатам.

Пример: при рассмотрении статистики идеального газа бозонов возникает потребность разложить полилогарифм $Li_s(z)$ в ряд по логарифму аргумента, $s>1$. В предположении аналитичности функции, делая замену $z=\exp(\mu)$ и пользуясь свойством понижения порядка $\partial_{\ln z}Li_s(z)=Li_{s-1}(z)$ нетрудно получить следующий ряд:
$ \operatorname{Li}_s(e^\mu) =\sum_{k=0}^\infty {\zeta(s-k) \over k!} \,\mu^k \ = \zeta(s)+\zeta(s-1)\mu+... \eqno(1) $

Если же к полилогарифму применить прямое, а затем обратное преобразование Меллина, получим другой ряд:
$ \operatorname{Li}_s(e^\mu) = \Gamma(1 \!-\! s) \,(-\mu)^{s-1} + \sum_{k=0}^\infty {\zeta(s-k) \over k!} \,\mu^k \ = \zeta(s)+\Gamma(1 \!-\! s) \,(-\mu)^{s-1}+... \eqno(2) $

В физически важном случае $s=3/2$ и $\mu \ll 1$ очевидно, именно ряд (2) будет давать правильные результаты.

То есть применение ТВ может привести к "забыванию" ветвлений, существенно особых точек и т.д.
g______d, идея интересная - в качестве V взять квадрат волновой функции основного состояния. Надо будет попробовать!

-- Чт дек 06, 2012 12:03:01 --

Oleg Zubelevich в сообщении #654915 писал(а):

а мне непонятно как для оператора содержащего $x^2$ получили спектр в явном виде

это, что задача на отрезке с нулевыми гран условиями?

Делают замену, в явном виде выделяя экспоненциальное убывание, для множителя перед экспонентой получается уравнение, решение которого не должно привести к возрастанию на бесконечности или к стремлению к константе. Поэтому это - полином. А чтобы это был полином, спектр энергий должен быть дискретен. Ландау - Лифшиц, том "Нерелятивистская квантовая механика", глава - "линейный осциллятор".