2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 спектр нелинейного оператора
Сообщение05.12.2012, 19:21 


09/01/11
96
Здравствуйте, товарищи математики!

Я сам физик и у меня в процессе исследования векторных бозонов в магнитном поле возникло следующее уравнение:

$
(-\gamma^2 \partial_x^2 +x^2)\varphi +\frac{g}{2}|\varphi|^2\varphi = \varepsilon \varphi
$

Очевидно, что если $ g = 0$ мы имеем обычное уравнение квантового осциллятора, которое решается при
$
\varepsilon(g=0) = \gamma (n+\frac{1}{2})
$

Мне необходимо выяснить структуру $\varepsilon(g)$ в нелинейном случае. Самое главное, что меня волнует - минимальное собственное значение $\varepsilon_{\min}(g)$. При $g=0$ оно равно $\gamma/2$. Необходимо узнать, при каких $g$ будет выполнено $\varepsilon_{\min}(g) > 2\gamma$.

Для справки: $\gamma$ - обезразмеренное магнитное поле, $g$ - константа взаимодействия, $\varepsilon$ - энергия частицы.

Возможно, кто-то знает, как называется такое уравнение, в каком направлении искать, есть ли неравенства относительно собственных значений нелинейных операторов и т.д. Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: спектр нелинейного оператора
Сообщение05.12.2012, 19:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Возможно, что не все участники форума знают, что такое собственное значение нелинейного оператора. Можно ли это понятие как-то определить в контексте этой задачи или сформулировать задачу вообще без таких слов?

-- Ср дек 05, 2012 21:07:05 --

Т.е. по аналогии с линейным оператором рассматривать резольвенту $(A-\lambda I)^{-1}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: спектр нелинейного оператора
Сообщение05.12.2012, 21:07 


09/01/11
96
Я и сам не до конца понимаю, что ждать от этого уравнения. По идее существует непустое множество таких $\varepsilon$, что уравнение
$
(-\gamma^2 \partial_x^2 +x^2)\varphi +\frac{g}{2}|\varphi|^2\varphi = \varepsilon \varphi
$ имеет хотя бы одно решение. Решение при этом должно убывать на бесконечности экспоненциально или сильнее (это из физики процесса следует). Далее: если $g=0$, то есть в линейном случае - это множество ограничено снизу значением $\gamma/2$. Будет ли оно ограничено снизу при произвольном положительном $g$? Если да, то как написать соответствующие оценки?

 Профиль  
                  
 
 Re: спектр нелинейного оператора
Сообщение05.12.2012, 21:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
пишите теорию возмущений

 Профиль  
                  
 
 Re: спектр нелинейного оператора
Сообщение05.12.2012, 22:22 


09/01/11
96
Теория возмущений даст энергию как ряд по константе g. Причем ряд степенной. А как доказать в таком случае, что непертурбативные члены будут малы? Что делать если g не мало? Есть ли какие-то оценки снизу для таких задач?

 Профиль  
                  
 
 Re: спектр нелинейного оператора
Сообщение05.12.2012, 23:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
ничего строгого она не даст, положим, но хоть будете знать, в какую сторону всё поползло.

 Профиль  
                  
 
 Re: спектр нелинейного оператора
Сообщение06.12.2012, 00:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Может быть, стоит попытаться что-нибудь доказать про уравнение
$$
(-\gamma^2 \partial_x^2+x^2)\varphi+\frac{g}{2}V\varphi=\varepsilon\varphi,
$$
зная, что $V$ экспоненциально убывает. Или даже в первом приближении взять в качестве $V$ основное состояние невозмущенной системы.

 Профиль  
                  
 
 Re: спектр нелинейного оператора
Сообщение06.12.2012, 11:37 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
В формулировке, похоже, неточность. Наверное нужно еще и условие нормировки
$\int |\varphi|^2 dx =1$
В противном случае без потери общности можно считать, что $g=1$.
Кроме того, для линейного осциллятора утеряна 2: $\varepsilon = 2\gamma (n+\frac{1}{2})$
matlabist в сообщении #654703 писал(а):
... Будет ли оно ограничено снизу при произвольном положительном $g$

Безусловно будет ограничено той же константой $\gamma$. Ну действительно, умножим уравнение на $\varphi$ и проинтегрируем. Получим
$$ \int (\gamma^2 \varphi_x^2 + x^2\varphi^2 +\frac{g}{2}\varphi^4 )dx = \varepsilon \int \varphi^2 dx $$
Осталось заметить, что
$$ \int (\gamma^2 \varphi_x^2 + x^2\varphi^2)dx \geqslant \gamma \int \varphi^2 dx $$
Это следует из того, что $\varepsilon_0 = \gamma$. Однако это легко показать и непосредственно
$$ \int (\gamma^2 \varphi_x^2 + x^2\varphi^2)dx \geqslant -\int \gamma  x 2\varphi_x \varphi dx \geqslant\gamma \int \varphi^2 dx $$
Для оценки $\varepsilon (g)$ можно использовать минимум функционала
$$ J(\varphi) = \int (\gamma^2 \varphi_x^2 + x^2\varphi^2 +\frac{g}{2}\varphi^4 )dx $$
на единичной сфере в $L_2$ (функции с условием нормировки).
Может этой оценки уже и хватит. Минимизировать стоит на линейном пространстве, натянутом на собственные функции линейного осциллятора (благо они известны).
Это, конечно, не оч. строго, но достаточно "просто". Во всяком случае будет ясно о чем идет речь. Для строгих оценок понадобится более тяжелая артиллерия.

-- Чт дек 06, 2012 14:47:53 --

Да почему же в $L_4$ ... в $L_2$. Условие нормировки
$\int \varphi^2 dx =1$
А насчет спектра - можно посмотреть Ландау-Лифшиц квантовая механика. Я там видел этот вывод. Там же есть ссылка на матричный метод вывода (Гейзенберга кажется). Наверное можно погуглить.

 Профиль  
                  
 
 Re: спектр нелинейного оператора
Сообщение06.12.2012, 11:49 


10/02/11
6786
а мне непонятно как для оператора содержащего $x^2$ получили спектр в явном виде

это, что задача на отрезке с нулевыми гран условиями? и что означает $|\varphi|^2$ это что комплекстнозначная функция?

 Профиль  
                  
 
 Re: спектр нелинейного оператора
Сообщение06.12.2012, 11:53 


09/01/11
96
Дело в том, что уже даже патриархи теории поля (например, Д.В. Ширков), стоявшие у истоков создания теории возмущений, относятся к ней скептически и отдают предпочтение строгим результатам.

Пример: при рассмотрении статистики идеального газа бозонов возникает потребность разложить полилогарифм $Li_s(z)$ в ряд по логарифму аргумента, $s>1$. В предположении аналитичности функции, делая замену $z=\exp(\mu)$ и пользуясь свойством понижения порядка $\partial_{\ln z}Li_s(z)=Li_{s-1}(z)$ нетрудно получить следующий ряд:
$
\operatorname{Li}_s(e^\mu) =\sum_{k=0}^\infty {\zeta(s-k) \over k!} \,\mu^k \ = \zeta(s)+\zeta(s-1)\mu+...
\eqno(1)
$

Если же к полилогарифму применить прямое, а затем обратное преобразование Меллина, получим другой ряд:
$
\operatorname{Li}_s(e^\mu) = \Gamma(1 \!-\! s) \,(-\mu)^{s-1} + \sum_{k=0}^\infty {\zeta(s-k) \over k!} \,\mu^k \ = \zeta(s)+\Gamma(1 \!-\! s) \,(-\mu)^{s-1}+...
\eqno(2)
$

В физически важном случае $s=3/2$ и $\mu \ll 1$ очевидно, именно ряд (2) будет давать правильные результаты.

То есть применение ТВ может привести к "забыванию" ветвлений, существенно особых точек и т.д.
g______d, идея интересная - в качестве V взять квадрат волновой функции основного состояния. Надо будет попробовать!

-- Чт дек 06, 2012 12:03:01 --

Oleg Zubelevich в сообщении #654915 писал(а):
а мне непонятно как для оператора содержащего $x^2$ получили спектр в явном виде

это, что задача на отрезке с нулевыми гран условиями?


Делают замену, в явном виде выделяя экспоненциальное убывание, для множителя перед экспонентой получается уравнение, решение которого не должно привести к возрастанию на бесконечности или к стремлению к константе. Поэтому это - полином. А чтобы это был полином, спектр энергий должен быть дискретен. Ландау - Лифшиц, том "Нерелятивистская квантовая механика", глава - "линейный осциллятор".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group