Определенный интеграл, замена переменной

[Limit79]

$\int_{3}^{4} \frac{x dx}{\sqrt{x^2-4}} = \frac{1}{2} \cdot \int_{3}^{4} \frac{d(x^2-4)}{\sqrt{x^2-4}}$

Переходя из первого во второе, мы же фактически заменяем переменную, но почему не меняются пределы интегрирования? (А в правильном варианте именно так).

Спасибо.

[ewert]

Limit79 в сообщении #654600 писал(а):

Переходя из первого во второе, мы же фактически заменяем переменную, но почему не меняются пределы интегрирования?

Потому, что лишь фактически, но пока что вовсе не формально. Мы пока что лишь нацелились на замену переменной, но формально её ещё не произвели.

[Limit79]

ewert
То есть при таком подходе можно вообще не менять пределы?

[ewert]

Limit79 в сообщении #654607 писал(а):

То есть при таком подходе можно вообще не менять пределы?

При каком "таком"? Всё зависит от того, как оформлено дальнейшее решение. Если замена проведена в уме и сразу же после этого выписана окончательная первообразная, то -- нет, не надо. А если замену выписать явно, то надо. Вообще же в сомнительных случаях очень желательно указывать, для какой именно переменной заданы пределы: $\int\limits_{x=3}^{4} \frac{d(x^2-4)}{\sqrt{x^2-4}}$.

[ИСН]

Вот-вот. Вообще нет такого понятия - "менять пределы". Внизу, где 3, на самом деле должно быть написано $x=3$ (просто икс обычно пропускают, потому что и так всем всё понятно). С верхним аналогично. Вот между ними и интегрируем. Выразить эти же пределы через что-то другое - можно. А менять нельзя.

[Limit79]

ewert
ИСН
Понял, спасибо.

[ewert]

ИСН в сообщении #654617 писал(а):

Вообще нет такого понятия - "менять пределы".

Вообще-то есть. Вообще-то при замене переменных в определённом интеграле очень часто бывает выгодно заодно пересчитать и пределы -- и после к исходной переменной уже вообще не возвращаться.

Но раз уж ТС со всем согласен -- значит, так тому и быть.

[nikvic]

ИСН в сообщении #654617 писал(а):

Вот-вот. Вообще нет такого понятия - "менять пределы". Внизу, где 3, на самом деле должно быть написано х=3 (просто икс обычно пропускают, потому что и так всем всё понятно).

А что, если термин не определён явно, то он не имеет смысла?
В интеграле переменная, по которой производится интегрирование, явно задана последним "сомножителем", и её добавление при указании интервала интегрирования избыточно. Когда она заменяется, то изменяется и интервал.