Группы, изоморфизм

[JMH]

Пусть группа $H$ является подгруппой групп $G_1$ и $G_2$, причём $\frac{G_1}{H}\cong\frac{G_2}{H}$. Нужно либо доказать, что $G_1$ и $G_2$ изоморфны, либо привести контрпример.

Пытаюсь доказать. Для конечных групп из теоремы Лагранжа следует $|G_1|=|G_2|$, а из изоморфизма факторгрупп следует сохранение групповой операции при отображении. Как поступить с бесконечными группами?

[Sonic86]

JMH в сообщении #651276 писал(а):

Пусть группа $H$ является подгруппой групп $G_1$ и $G_2$, причём $\frac{G_1}{H}\cong\frac{G_2}{H}$. Нужно либо доказать, что $G_1$ и $G_2$ изоморфны, либо привести контрпример.

Скорее всего, это неверно. Поищите контрпример в виде $G_j=K_j\times H$.

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #651284 писал(а):

Поищите контрпример в виде $G_j=K_j\times H$.

Если в таком виде искать контрпример, то ничего не выйдет. Но контрпример действительно есть.

[Slip]

Можно, например, поискать контрпример в среди подгрупп $S_6$. Он там есть.

[lek]

JMH, таких контрпримеров множество. Даже среди групп порядков 4 и 6 есть... Кстати, в продолжении темы (вопрос к ТС): всегда ли из изоморфизма $G/H_1\simeq G/H_2$ следует изоморфизм $H_1\simeq H_2$?

[JMH]

Да, действительно, контрпример можно найти среди групп порядка 4, вот две такие группы, заданные таблицами Кэли (или умножения, если угодно):
$G_1$
$\begin{center}\begin{tabular}{ l|c|c|c|r} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ \hline a & a & e & c & b \\ \hline b & b & c & e & a \\ \hline c & c & b & a & e \end{tabular}\end{center}$

$G_2$
$\begin{center}\begin{tabular}{ l|c|c|c|r} & e & a & b & c \\ \hline e & e & a & b & c \\ \hline a & a & e & c & b \\ \hline b & b & c & a & e \\ \hline c & c & b & e & a \end{tabular}\end{center}$

$H=\{e,a\}$, $G_1/H=\{\{e,a\},\{b,c\}\}$, $G_2/H=\{\{e,a\},\{b,c\}\}$
Однако $G_1$ и $G_2$ не изоморфны - биекция имеется но отображение не совместимо с групповым законом.

lek в сообщении #651433 писал(а):

...всегда ли из изоморфизма $G/H_1\simeq G/H_2$ следует изоморфизм $H_1\simeq H_2$?

Сколько я понимаю, ответ на Ваш вопрос "да", т.к. в этом случае имеются два взаимно обратных гомоморфизма, стало быть их ядра должны совпадать, правильно?

nnosipov в сообщении #651336 писал(а):

Sonic86 в сообщении #651284 писал(а):

Поищите контрпример в виде $G_j=K_j\times H$.

Если в таком виде искать контрпример, то ничего не выйдет.

Очень интересно, почему?

[Sonic86]

JMH в сообщении #653897 писал(а):

Очень интересно, почему?

Я это фигню написал. Как раз в таком случае из изоморфизма факторов и нормальных делителей следует изоморфизм групп, а в общем случае как раз нет. Иначе говоря, группу невозможно однозначно восстановить по ее нормальному делителю и фактору. Из этих соображений легко подобрать конечный контрпример (взять прямое и нетривиальное полупрямое произведение некоторых конкретных групп)
Раз Вы уже пример написали, то я тоже напишу. Вы взяли $\mathbb{Z}_2^+\times\mathbb{Z}_2^+$ и $\mathbb{Z}_4^+$ (т.е. можно на абелевых группах примеры строить. Даже $\mathbb{Z}_a^+\times\mathbb{Z}_{b}^+$ и $\mathbb{Z}_{ab}^+$ (upd: забыл: $\gcd (a,b)>1$)). У меня был другой естественный пример с группой порядка $6$. Какие группы порядка $6$ Вы знаете?

[lek]

JMH в сообщении #653897 писал(а):

Да, действительно, контрпример можно найти среди групп порядка 4, вот две такие группы, заданные таблицами Кэли

Верно. $G_1\simeq S_2\times S_2$ - прямое произведение двух групп, $G_2$ - циклическая группа.

JMH в сообщении #653897 писал(а):

Сколько я понимаю, ответ на Ваш вопрос "да", т.к. в этом случае имеются два взаимно обратных гомоморфизма, стало быть их ядра должны совпадать, правильно?

Это верно для конечных групп, для бесконечных такое рассуждение не проходит. Погуглите "нехопфова группа".

[JMH]

Sonic86 в сообщении #653902 писал(а):

У меня был другой естественный пример с группой порядка $6$. Какие группы порядка $6$ Вы знаете?

Если честно (никуда не заглядывая), то я знаю всего два вида групп порядка 6: циклическая $C_6$ и симметрическая $S_3$; реализаций, конечно, много, но все мне известные изоморфны этим двум. Ваш пример был $C_2\times C_3$ и $S_3$?

lek в сообщении #653952 писал(а):

Это верно для конечных групп, для бесконечных такое рассуждение не проходит. Погуглите "нехопфова группа".

Спасибо, действительно очень интересно!

[Sonic86]

JMH в сообщении #654282 писал(а):

Ваш пример был $C_2\times C_3$ и $S_3$?

Ага