Подскажите решение Дифференциального уравнения

[AlexeyThermophysics]

mihiv
Пытался! Не получается

-- Чт фев 02, 2012 16:06:04 --

Munin
Извините, но, сделав замену, не совсем понимаю что это даёт. Или я Вас не правильно понял.

-- Чт фев 02, 2012 16:08:43 --

mihiv
Я даже тригонометрические функции пробовал....

[Munin]

AlexeyThermophysics
Я тоже сослепу не всё сразу разглядел, извините.

[AlexeyThermophysics]

Munin
Не стоит извиняться - бывает. Спасибо, что вообще хоть посмотрели!

[Klad33]

Ой, пардон! Я y во втором слагаемом и не заметил.
А с ним все усложняется на порядок. Без гипергеометрической функции не обойтись.

[AlexeyThermophysics]

Klad33
А вот с этого места поподробнее, пожалуйста!

[Klad33]

Подробно только могу сказать, что лагранжиан

$L(z',z,y)=\frac{A}{2}z^2 \exp \big ( \frac{AB}{2}y^2 \big ) + \frac{1}{2} (z')^2 \exp \big ( \frac{AB}{2}y^2 \big ) $

[AlexeyThermophysics]

Klad33
Спасибо! Попытаюсь разобраться!

[master]

а вдруг
$z=\frac{y}{B}$

[AlexeyThermophysics]

master
Спасибо! Но если бы было так просто, я бы не выкладывал вопрос на форуме.

-- Вт дек 04, 2012 12:58:35 --

К сожалению, так и не получилось решить д.у. Может кто ещё чего подскажет?

[mihiv]

Посмотрите в ЛЛ3 Математические Дополнения,параграф а.

[iakovk]

См. Никифоров, Уваров. Специальные функции математической физики. Глава 4.
Похоже, ваше уравнение - это уравнение Эрмита.

[YURIY49]

Четырнадцатая международная научная конференция имени академика М. Кравчука
19-21 апреля 2012 года, Киев
Материалы конференции, том 1
Статья: Крутий Ю.С. Точное решение линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с непрерывными коэффициентами, стр. 254-257.
Ваше уравнение - весьма частный случай решенного в статье.
Материалы конференции доступны по ссылке http://us.ua/816338/

[AlexeyThermophysics]

К сожалению, пройдя по ссылке получил следующее: "Запрошенный вами файл не найден. Вероятно файл был удален с сервера."

[YURIY49]

Вижу Вам очень интересно это уравнение. Поэтому готов помочь из-за профессиональной солидарности.
Поскольку я и есть автор указанной статьи, готов выслать ее по почте или по скайпу, если указанная мною ссылка уже не активна. Укажите адрес. Само собой Вы должны пообещать ссылаться на указанную статью каждый раз, когда будете обращаться к ее результатам. Да, еще если можно напишите пару слов о себе в смысле рода деятельности.

[B@R5uk]

AlexeyThermophysics в сообщении #533636 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, ход решения следующего дифференциального уравнения:

$\frac{{{d^2}z}}{{d{y^2}}} + ABy\frac{{dz}}{{dy}} - Az = 0$

A и B - некоторые определённые константы.

Предлагаю такое решение. Для него потребуется знание преобразования Фурье на уровне изложенного в википедии. В частности эти формулы.

Позволю себе немного переписать уравнение в привычном для себя виде:

$\frac{d^2}{dt^2}f(t) + abt\frac{d}{dt}f(t) - af(t) = 0$

Произведём над этим уравнением преобразование Фурье. Сначала преобразуем каждый член:

$\mathcal{F}( f(t) ) = F(\omega)$

$\mathcal{F}( g(t) ) = \mathcal{F}( \frac{d}{dt}f(t) ) = i{\omega}F(\omega) = G(\omega)$

$\mathcal{F}( t\frac{d}{dt}f(t) ) = \mathcal{F}( {t}g(t) ) = i\frac{d}{d\omega}G(\omega) = i\frac{d}{d\omega}( i{\omega}F(\omega) ) = - F(\omega) - \omega\frac{d}{d\omega}F(\omega)$

$\mathcal{F}( \frac{d^2}{dt^2}f(t) ) = (i\omega)^2F(\omega) = - \omega^2F(\omega)$

Теперь можно собрать всё воедино:

$-\omega^2F(\omega) - abF(\omega) - ab\omega\frac{d}{d\omega}F(\omega) - {a}F(\omega) = 0$

Или, приведя подобные:

$(\omega^2 + ab + a)F(\omega) + ab\omega\frac{d}{d\omega}F(\omega) = 0$

Здесь мы видим всю мощь Фурье-преобразования: мы свели дифференциальное уравнение второй степени к дифференциальному уравнению первой степени. Конечно, всё не так хорошо, как хотелось бы. Если бы в исходном уравнении производная не была бы помножена на свой аргумент, то в уравнении для Фурье-образа искомой функции, вообще бы не было производных! Однако, имеем то, что имеет, и оно, надо сказать, выглядит очень привлекательно. Ведь переменные разделяются:

$(\frac{1}{ab}\omega + \frac{b + 1}{b}\frac{1}{\omega})d\omega + \frac{dF}{F} = 0$

Далее интегрируем:

$\frac{1}{2ab}\omega^2 + \frac{b + 1}{b}\ln\omega + \ln{F(\omega)} = C$

И упрощаем:

$F(\omega) = C\omega^{- \frac{b + 1}{b}}\exp(-\frac{\omega^2}{2ab})$

Итак, образ искомой функции — это произведение двух функций, одна из которых гауссиан, другая — показательная функция с дробным показателем степени (в общем случае). Обычно, прообраз произведения функций — это свёртка прообразов этих функций. Однако в нашем случае одна из функций показательная, а это значит, что прообразом произведения будет производная степени равной показателю степенной функции (интеграл ? для отрицательных показателей) прообраза второй функции (если беспрекословно следовать таблице). В нашем случае число $\frac{b + 1}{b}$ — произвольное вещественное число. Не представляю, как можно взять производную произвольной вещественной степени. В любом случае, даже если искомая функция для данных значений $b$ и существует, она не будет элементарной.

Корифеи математики, прошу меня поправлять, так как это мой первый опыт использования преобразования Фурье для решения дифференциального уравнения.

Предположим, число $n = - \frac{b + 1}{b}$ — целое и положительное, тогда:

$b = -\frac{1}{n + 1}$

$F(\omega) = C\omega^n\exp(-\frac{\omega^2}{2ab})$

$f(t) = C\frac{d^n}{dt^n}\exp(-\frac{ab\omega^2}{2})$

Проглядывается некоторая связь с многочленами Эрмита.