Подскажите решение Дифференциального уравнения

[AlexeyThermophysics]

Подскажите, пожалуйста, ход решения следующего дифференциального уравнения:

$\frac{{{d^2}z}}{{d{y^2}}} + ABy\frac{{dz}}{{dy}} - Az = 0$

A и B - некоторые определённые константы.

Если B=1, то я знаю решение. А вот если B произвольная константа, то затрудняюсь.
Спасибо всем кто поможет!

[mihiv]

Это уравнение можно решить с помощью формулы Остроградского-Лиувилля.Для этого должно быть известно одно нетривиальное решение ДУ.В данном случае нетрив. решение легко подбирается,например,в виде полинома.

[AlexeyThermophysics]

Спасибо, я это в общем знаю. Я решил это уравнение с помощью формулы Остроградского - Лиувилля, когда B=1 и когда перед dz/dy стоит (Ay+С). А вот в таком виде не могу никак подобрать полином - вот в чём вся беда!!!

[Klad33]

Решение Ваше такое:

$ z=C_1 \exp\bigg [ -\frac{1}{2}y\big ( \sqrt{A}\sqrt{AB^2+4}+AB\big ) \bigg ] + C_2 \exp\bigg [ \frac{1}{2}y\big ( \sqrt{A}\sqrt{AB^2+4} - AB\big ) \bigg ] $

[AlexeyThermophysics]

Спасибо! А как получили?

[AlexeyThermophysics]

К сожалению, это решение не удовлетворяет ду, а также при B=1 не сводится решению в данном случае. Где-то, возможно, ошибка. Не могли бы сообщить какой использовали частное нетривиальное решение для формулы Остроградского - Лиувилля? Или может какой-то другой способ использовали?

[Klad33]

У меня все нормально. Может, ошибся при упрощении ... Распишу подробней:

$ z={\it c_1}\,{{\rm e}^{y \left( -0.5\,AB+0.5\,\sqrt {{A}^{2}{B}^{2}+4\,A} \right) }}+{\it c_2}\,{{\rm e}^{y \left( -0.5\,AB-0.5\,\sqrt {{A}^{2}{ B}^{2}+4\,A} \right) }} $

[AlexeyThermophysics]

Извините, Вы прямо подставляли в ду? Хорошо, как вы получили решение?

[gris]

А Вы вычеркнете $y$ во втором слагаемом и ровно то же самое и получите

[AlexeyThermophysics]

Извините! Во втором слагаемом ду или самого решения?

[Munin]

AlexeyThermophysics в сообщении #533636 писал(а):

Если B=1, то я знаю решение. А вот если B произвольная константа, то затрудняюсь.

Сделайте замену переменной $z'=Bz.$

[gris]

AlexeyThermophysics, я имел в виду лишь получение решения с экспоненатми. Мне показалось, что немного рассеянный Klad33 не заметил $y$ во втором слагаемом ДУ, отчего оно превратилось чудесным образом в линейное уравнение с постоянными коэффициентами.

[mihiv]

Частное решение в виде полинома удается подобрать только для специальных значений $B$,например,при $B=\dfrac 12$ частное решение равно $z_1(y)=y^2+\dfrac 2A$

[AlexeyThermophysics]

mihiv
Я вас правильно понял, что для произвольного B данное ду решить нельзя?

[mihiv]

Можно попытаться найти частное решение другого вида,экспоненту может быть.