Сryptic character

[Keter]

Что можно сказать об уравнении

$$\sin 2x \cdot \cos \bigg( \dfrac{\pi}{8}-\dfrac{x}{2} \bigg) \cdot \sin \bigg( \dfrac{\pi}{8}+\dfrac{3x}{2} \bigg) = 1.$$

Из старой книжки выпала какая-то вырезка из газеты что-ли... И там такое, может где опечатка? Но пока что решить не могу.
Пробовал замены, через тангенсы, после того как представил произведение синус на косинус в другом виде, но всё равно ничего... Хотя один ответ я нашел $\sin 2x=1$, но должен быть еще один...
В своих записях неоднократно приходил к такому уравнению $2a^3+a^2-8a-8=0$, где $a=\sin 2x$.

[gris]

Произведение нескольких синусов-косинусов равно1.
Чему может быть равен каждый сомножитель? Три системы, конечно, не сахар, но и не ужас.

[Aritaborian]

Очевидно, что если произведение трёх синусов равно единице, то либо все они равны единице, либо один равен единице, два других — минус единице. Дальше решается легко.

-- 02.12.2012, 23:10 --

(Оффтоп)

gris, опередили ;-)

[Keter]

Идея с системами была, но не там где нужно, как оказалось. Интересно, а можно ли как-то через тангенс решить?

[Aritaborian]

Но зачем?!

[Keter]

Aritaborian, так, для исследования методов.
Например, можно прийти к такому уравнению $(a-1)(2a^3+a^2-8a-8)=0, a=\sin 2x$, откуда сразу получаем решение $\sin 2x=1$, а во второй скобке..

-- 03.12.2012, 00:22 --

Скорее всего к рациональному решению это не приведет, но так чисто интересно...
Еще, если построить график в матпакете, то он будет тангенсыального характера

[Aritaborian]

...А во второй скобке какая-то жуть, имеющая очень некрасивые корни. Вы нигде не ошиблись?

-- 02.12.2012, 23:29 --

График самого первого нашего уравнения? Как тангенциального, когда там нет тангенсов? Это забавная такая волна, туда-сюда пляшущая.
Но дело, хм, не в этом. Построив график, я выяснил, что уравнение, уж простите, не имеет решений

[Keter]

Aritaborian, хмм.. сейчас еще раз попробую прийти к ней

-- 03.12.2012, 00:35 --

Вроде всё правильно: $2a^4-a^3-9a^2+8=0, a=\sin 2x.$

-- 03.12.2012, 00:36 --

Aritaborian в сообщении #653312 писал(а):

Построив график, я выяснил, что уравнение, уж простите, не имеет решений

-- 03.12.2012, 00:39 --

Вот это я дал...((( Там синус с косинусом местами поменяйте

[Aritaborian]

Keter в сообщении #653314 писал(а):

Вроде всё правильно

У этого уравнения 4 корня. Помимо единицы, остальные (из них два вообще комплексные) красивыми никак не назовёшь.

[Keter]

$$\sin 2x \cdot \cos \bigg( \dfrac{\pi}{8}-\dfrac{x}{2} \bigg) \cdot \sin \bigg( \dfrac{\pi}{8}+\dfrac{3x}{2} \bigg) = 1$$

Зло копипаста Когда набирал и копировал функции, забыл на косинус поменять.

-- 03.12.2012, 00:46 --

gris, тут вроде четыре системы:

$$\begin{cases} \sin 2x=1, \\ \cos \bigg( \dfrac{\pi}{8}-\dfrac{x}{2} \bigg)=1, \\ \sin \bigg( \dfrac{\pi}{8}+\dfrac{3x}{2} \bigg)=1; \end{cases} \quad \begin{cases} \sin 2x=1, \\ \cos \bigg( \dfrac{\pi}{8}-\dfrac{x}{2} \bigg)=-1, \\ \sin \bigg( \dfrac{\pi}{8}+\dfrac{3x}{2} \bigg)=-1; \end{cases} \quad \begin{cases} \sin 2x=-1, \\ \cos \bigg( \dfrac{\pi}{8}-\dfrac{x}{2} \bigg)=-1, \\ \sin \bigg( \dfrac{\pi}{8}+\dfrac{3x}{2} \bigg)=1; \end{cases} \quad \begin{cases} \sin 2x=-1, \\ \cos \bigg( \dfrac{\pi}{8}-\dfrac{x}{2} \bigg)=1, \\ \sin \bigg( \dfrac{\pi}{8}+\dfrac{3x}{2} \bigg)=-1. \end{cases}$$

[Aritaborian]

Вооот, у этого уравнения решения есть ;-)
$\frac\pi4+2\pi n$, если не ошибся.

-- 02.12.2012, 23:50 --

И таки да, систем, конечно, 4. +++, --+, -+-, +--.

[Keter]

Aritaborian, таки да, теперь можно и решения найти, перебрав системы. Спаибо за помощь.

[Aritaborian]

Keter, если найдёте решения, отличные от указанных мной, сообщите, хорошо? ;-)

[Keter]

Aritaborian, сообщу)

[gris]

Упс. Синус на косинус поменялся. А я-то думаю, что там за.
А систем четыре, да.