Уравнение Пуассона в декартовых координатах

[Dim91]

Подскажите как решить в общем виде уравнение Пуассона двумерный случай

$$\frac{d^2A}{dx^2}+\frac{d^2A}{dz^2}=-p$$

где p - число

[ewert]

Во-первых, никак. Во-вторых, достаточно найти хотя бы одно частное решение; ну вот хотя бы и $A(x,z)=\dfrac{px^2}2$.

[Dim91]

то есть как никак?) должно же быть решение с произвольными постоянными и зависящее от x и z

[ewert]

Dim91 в сообщении #652941 писал(а):

то есть как никак?) должно же быть решение с произвольными постоянными и зависящее от x и z

Какие произвольные постоянные, если дифференциальное уравнение -- в частных производных?...

Описать общее решение, конечно, запросто: это -- та функция, которую я выписал, плюс произвольная гармоническая функция. Или, если угодно, плюс вещественная часть произвольной аналитической функции. И ничего более конкретного сказать невозможно.

[Munin]

Для ДУЧП (которым является уравнение Пуассона) произвольными оказываются не какие-то постоянные, а целая функция определённого вида (её можно воспринимать как бесконечно много постоянных) - так называемая "гармоническая функция", решение уравнения Лапласа. Любое частное решение можно перевести в другое частное решение добавлением такой функции. Например, решения $A(x,z)=\tfrac{px^2}{2},$ $A(x,z)=\tfrac{pz^2}{2}$ и $A(x,z)=\tfrac{px^2}{4}+\tfrac{pz^2}{4}$ все переводятся друг в друга одной такой функцией $x^2-z^2.$ А бывает и множество других гармонических функций (бесконечно много), например, $e^{kx}\sin kz$ (для произвольной $k$).

[Physman]

ewert в сообщении #652935 писал(а):

Во-первых, никак.

Простите, вы не правы.

Есть общий метод, называется "метод Гринберга". Он является обобщением метода Фурье. Этим методом можно решить вашу задачу в общем виде. Можно решить и трёхмерную задачу. Но придётся разбираться. В частности, потребуются периодические граничные условия.

[ewert]

Physman в сообщении #652993 писал(а):

Этим методом можно решить вашу задачу в общем виде.

Даже методом Фурье и каким угодно его обобщением невозможно получить никакого иного ответа, кроме: "Функция является решением уравнения Лапласа тогда и только тогда, когда она является решением уравнения Лапласа". Поскольку никаких дополнительных требований не наложено.

[Physman]

ewert в сообщении #652997 писал(а):

Даже методом Фурье и каким угодно его обобщением невозможно получить никакого иного ответа, кроме: "Функция является решением уравнения Лапласа тогда и только тогда, когда она является решением уравнения Лапласа". Поскольку никаких дополнительных требований не наложено.

Речь идёт о решении в общем виде. В ответе будут фигурировать константы, которые при наложении граничных условий окажутся фиксированы. Поэтому, я вас совершенно не понимаю.

[ewert]

Physman в сообщении #653005 писал(а):

В ответе будут фигурировать константы,

Munin в сообщении #652975 писал(а):

Для ДУЧП (которым является уравнение Пуассона) произвольными оказываются не какие-то постоянные, а целая функция определённого вида

[Physman]

Да, я согласен с вашим ответом задачи. Но вопрос был - как решить. Вы не говорите о методе решения, а угадываете ответ. Так вот, можно не угадывать ответ, а вывести (по сути получить в общем виде) со всеми этими гармоническими функциями + константы, о которых говорил Munin, вы и я.

[Munin]

Методов решения ДУЧП не один, и странно, что вы предлагаете только один, и на нём настаиваете. Насколько я в курсе, методы решения (линейных) ДУЧП примерно распадаются на три направления:
- методы типа функции Грина и фундаментального решения;
- методы типа Фурье и других разложений по собственным функциям;
- (для гиперболических уравнений по крайней мере) методы типа характеристик и Римана.

[Physman]

Я не настаивал на определённом методе. Я предложил альтернативу угадыванию.

К тому же, метод Фурье (и Гринберга) изучаются на 3-м курсе университета (у нас так было). Насчёт других упомянутых вами методов, я не уверен, думаю, что с функцией Грина сложнее разбираться.

[g______d]

Наложение граничных условий в данном случае --- это и есть угадывание. Другое дело, если бы ТС нам их сказал :)

[Munin]

(Оффтоп)

Physman в сообщении #653096 писал(а):

К тому же, метод Фурье (и Гринберга) изучаются на 3-м курсе университета (у нас так было). Насчёт других упомянутых вами методов, я не уверен, думаю, что с функцией Грина сложнее разбираться.

Они все изучаются на 3-м курсе.