Законы механики

[lunya]

Здравствуйте, уважаемые физики!

Как я понимаю, все следствия Классической Механики, следуют из следующих принципов и утверждений (в классическом формализме):

• Первый закон Ньютона: Существование инерциальных систем.
• Второй закон Ньютона: В инерциальной системе изменение импульса равно силе.
• Третий закон Ньютона: В инерциальной системе сила действия равна силе противодействия.
• Принцип относительности Галилея: В любой инерциальной системе любой физический процесс протекает одинаково.
• Закон всемирного тяготения Ньютона.
• Закон сохранения массы; Масса аддитивна и инвариантна; Эмпирическое равенство гравитационной и инертной массы.

Отсюда можно вывести и закон сохранения импульса, и закон сохранения энергии и т.д. Если, я что-то упустила, поправте меня.

Вопрос, такой: что из этого меняется и каким образом, а также, какие принципы добавляются в случае:

• Классической механики в лагранжевом формализме;
• Релятивистской механики и ОТО;

В общем, каков минимальный базис принципов, в этих случаях (не выходя за рамки механики)... Эмпирические силы трения, упругости и тд... не рассматриваем, интересуют только чисто механические принципы.

[fizeg]

lunya
Что-то многовато у вас принципов

lunya в сообщении #652722 писал(а):

Классической механики в лагранжевом формализме;

Лагранжев формализм это очень гибкий инструмент, который дает возможность описывать как довольно частные задачи, так и весьма фундаментальные

Для начала вводится понятие обобщенной координаты, т.е. некоторый набор величин, которые определяют состояние механической системы. Ими могут служить не только координаты материальных точек, но и например значения полей во всех точках пространства.

Лагранжев формализм весь базируется на принципе наименьшего действия. Существует некоторая величина, называемая действием, которая является функционалом на траекториях. Система двигается по таким траекториям, что действие оказывается минимальным (вообще говоря, экстремальным, но обычно для реальных задач минимальным)

Обычно действие может быть представлено в виде $S[x_k(t)]=\int\limits_{t_1}^{t_2}dtL(x_k(t),\dot{x}_k(t))$, где $L$ - функция Лагранжа (лагранжиан). Когда мы говорим о теории поля, оказывается, что можно добиться большего $S[\Phi]=\int d^3xdt \mathcal{L}(\Phi,\partial_\mu\Phi)$ На самом деле это не такое уж тривиальное свойство

Также вводят обобщенный импульс $p_i=\frac{dL}{d(\dot{x}_i)}$

Дальше на этом языке разница между полностью классической и неквантовой релятивистской физикой оказывается на самом деле очень небольшой. Переход к квантовой теории намного радикальнее.

Во-первых, сюрприз. Вы пишете про законы сохранения, которые выводятся из законов Ньютона. На самом деле законы сохранения тесно связаны с симметриями. Если есть какое-то преобразование, которое не меняет действие - есть некий закон сохранения (теорема Нетер) Например
1). Если законы физики однородны по времени (т.е. сдвигаете все по времени), то существует некая сохраняющаяся величина - энергия.
2). Законы физики однородны в пространстве - сохраняется импульс
3). Законы физики не зависят от направления - сохраняется момент импульса

В нерелятивистской физике эти симметрии оказываются частью некой пространственно-временной симметрии - симметрии относительно преобразований Галилея. Преобразования Галилея являются как раз переходами от одной инерциальной системы отсчета к другой. Они включают в себя сдвиги пространственные, сдвиги временные, повороты и так называемые бусты $x\rightarrow\vec{x}+\vec{v}t$ т.е. переходы в движущуюся со скоростью $\vec{v}$ систему (от слова boost - ускорение)

Для материальной точки в потенциале можно записать простенький лагранжиан, симметричный относительно преобразований Галилея
$L=\frac{m\vec{v}^2}{2}-U(\vec{x})$
Если вы знаете вариационное исчисление (наверное нет) вы можете получить уравнения движения
$m\dot{\vec{v}}=\dot{\vec{p}}=-\nabla U,\quad m\ddot{x}=-\frac{dU}{dx}$
Что является вторым законом Ньютона.

Релятивистская механика отличается от нерелятивистской именно пространственно-временной симметрией. На смену преобразованиям Галилея приходят преобразования Пуанкаре (преобразования Лоренца+сдвиги). Отличаются они одной мелочью - на смену бустам Галилея приходят бусты Лоренца, которые меняют не только пространственные координаты, но и время.

Для материальной точки лоренц-инвариантный лагранжиан оказывается таким
$L=m\sqrt{1-\frac{\vec{v}^2}{c^2}}$
Может показаться странным, но если познакомиться с пространством Минковского (пространство-время в СТО) он станет выглядеть очень естественным. Коэффициент $m$ является массой. Вообще-то это то, что в школе называют массой покоя. Но никто, серьезно работающий с релятивистской физикой, сейчас не использует "релятивистскую массу", потому что это крайне неудобный и вообще противоестественный с 4-мерной точки зрения объект. Т.е. когда говорят о массе имеют в виду "массу покоя".

Так что вот он итог:
1). Основа лагранжевой механики - принцип наименьшего действия
2). Законы сохранения - следствия довольно общих пространственно-временных симметрий
3). Нерелятивистская физика отличается от релятивистской пространственно-временной симметрией - преобразования Галилея заменяются на преобразования Лоренца.
4). Законы Ньютона получаются из применения всех этих вещей к частному случаю материальных точек с определенным взаимодействием. Они очень хорошо работают для огромного числа повседневно встречающихся проблем. Но то, что рассказал я довольно хорошо обобщается вплоть до самой фундаментальной известной физики.

К ОТО переход тоже довольно простой но если уже написанное вызовет проблемы, вряд ли стоит сразу к нему переходить

-- 02.12.2012, 05:23 --

Да уж, завтра я и сам наверное ужаснусь объему написанного

-- 02.12.2012, 05:34 --

Чтобы была понятна фундаментальность - лагранжиан (а значит и действие) пишут и для стандартной модели. Хотя принцип наименьшего действия оказывается классическим приближением, действие фигурирует в квантовой теории через функциональный интеграл.

[fizeg]

конечно нерелятивистский лагранжиан, который я написал из-за потенциала относительно преобразований галилея неинвариантен... еще один момент состоит в том, что для нулевого потенциала, т.е. свободной частицы, хотя бусты к лагранжиану делают добавку, это полная производная + константа, которые не влияют на динамику.

Релятивистский уже в этом плане красивее

[Munin]

(Оффтоп)

fizeg в сообщении #652761 писал(а):

Да уж, завтра я и сам наверное ужаснусь объему написанного

В смысле, слишком мало? ;-)

[Oleg Zubelevich]

lunya в сообщении #652722 писал(а):

Вопрос, такой: что из этого меняется и каким образом, а также, какие принципы добавляются в случае:

Классической механики в лагранжевом формализме;

добавляется гипотеза того, что связи геометрические и идеальные

-- Вс дек 02, 2012 10:40:01 --

закон всемирного тяготения это специальный факт, ему в списке не место
про остальное посмотрите еще Арнольд Мат. методы классической механики

[lunya]

Большое спасибо за ответы. Просто, прежде, чем перейти к изучению этой темы, хотелось бы уяснить для себя суть определенных принципов.

fizeg в сообщении #652761 писал(а):

Так что вот он итог:
1). Основа лагранжевой механики - принцип наименьшего действия
2). Законы сохранения - следствия довольно общих пространственно-временных симметрий
3). Нерелятивистская физика отличается от релятивистской пространственно-временной симметрией - преобразования Галилея заменяются на преобразования Лоренца.
4). Законы Ньютона получаются из применения всех этих вещей к частному случаю материальных точек с определенным взаимодействием. Они очень хорошо работают для огромного числа повседневно встречающихся проблем. Но то, что рассказал я довольно хорошо обобщается вплоть до самой фундаментальной известной физики.

Значит, получается что (для классической механики) постулируется опять же существовние инерциальных систем, принцип Галилея. Лагранжев формализм строится на принципе наименьшего действия и принципах определенных симметрий. Отсюда выводится вся динамика, а также такие свойства массы, как постоянство и аддитивность. Я правильно понимаю?

Удобство получается в том, что формально теория остается неизменной при переходе к релятивистской механике, где достаточно заменинить принцип Галилея и определенные симетрии?

Oleg Zubelevich в сообщении #652820 писал(а):

закон всемирного тяготения это специальный факт, ему в списке не место
про остальное посмотрите еще Арнольд Мат. методы классической механики

Гравитацию я сюда включила по причине того, что мне интересен один вопрос, будучи глубоко не зная ОТО. Во многих источниках написано, что ОТО можно построить всего лишь на постулировании равенства инертной и гравитационной массы. Понятно, что это есть суть - принцип эквивалентности. Однако колличественная форма взаимодействия между массами ведь должна иметь место в теории так или иначе. Как она фигурирует? Как следствие чего...

На счет книжки - посмотрю, спасибо!

[Munin]

lunya в сообщении #652971 писал(а):

Во многих источниках написано, что ОТО можно построить всего лишь на постулировании равенства инертной и гравитационной массы. Понятно, что это есть суть - принцип эквивалентности.

Это написано самое большее в популярных книжках, это не источники, а вторичный продукт. Источники - это как минимум учебники по ОТО. Там подробно описано, как ОТО строится, и как её можно построить (в МТУ, например, перечислено 6 способов).

lunya в сообщении #652971 писал(а):

Однако колличественная форма взаимодействия между массами ведь должна иметь место в теории так или иначе. Как она фигурирует? Как следствие чего...

Для количественного закона надо зафиксировать один коэффициент. Его вычисляют, сравнивая в пределе закон взаимодействия ОТО, и закон Ньютона.

[Someone]

lunya в сообщении #652971 писал(а):

Во многих источниках написано, что ОТО можно построить всего лишь на постулировании равенства инертной и гравитационной массы.

В ОТО нет понятий гравитационной и инертной массы. Поэтому и "равенства" никакого нет. Вместо этого есть так называемый сильный принцип эквивалентности, который состоит в том, что в свободно падающей системе отсчёта локальные законы физики такие же, как в инерциальных системах СТО. Но, вообще-то, для более точного понимания надо изучать серьёзную литературу.

[Oleg Zubelevich]

Вот есть стандартное заблуждение, что второй закон Ньютона эквивалентен в каком -то там смысле вариационному принципу. Это не так. Уравнения Лагранжа выводятся из второго закона Ньютона при некоторых дополнительных предположениях. Обратное неверно.
Действительно, расммотрим математический маятник. Предположим требуется найти силу реакции точки подвеса. Это невозможно сделать, используя только уравнения Лагранжа. Потому, что сила реакции в уравнения Лагранжа не входит, а во второй закон Ньютона входит.

[fizeg]

Oleg Zubelevich
Это хочется придумать нетривиальную проблему на пустом месте?

Вы можете записать лагранжиан для такой системы разными способами. Можете выбросить все ненужное для описания движения и тогда реакцию опоры не сможете ввести. Можете не доходить до большой абстракции и тогда реакция подвеса будет легко определяема.

-- 02.12.2012, 18:39 --

Oleg Zubelevich в сообщении #652820 писал(а):

посмотрите еще Арнольд Мат. методы классической механики

У меня есть большие сомнения, что знакомство с теормехом имеет смысл начинать с этой книги. Для продвинутого изучения она крайне желательна (книжка просто прекрасная, я в свое время ей зачитывался), но для первоначального я бы не стал советовать.

[Oleg Zubelevich]

fizeg в сообщении #653064 писал(а):

Вы можете записать лагранжиан для такой системы разными способами. Можете выбросить все ненужное для описания движения и тогда реакцию опоры не сможете ввести. Можете не доходить до большой абстракции и тогда реакция подвеса будет легко определяема.

продемонстрируйте плз нахождение реакции подвеса в лагранжевом формализме

[fizeg]

lunya

lunya в сообщении #652971 писал(а):

Значит, получается что (для классической механики) постулируется опять же существовние инерциальных систем, принцип Галилея. Лагранжев формализм строится на принципе наименьшего действия и принципах определенных симметрий. Отсюда выводится вся динамика, а также такие свойства массы, как постоянство и аддитивность. Я правильно понимаю?

В общем так, хотя остается (особенно для довольно гадкой Галилеевой симметрии) весьма большая свобода в том, какая может быть динамика.

Вы не придавайте массе слишком большого значения. Формально это некоторый коэффициент, появляющийся в некоторых местах. На уровне того, что я написал, это банально коэффициент при кинетическом члене в лагранжиане.

Эйнштейн перешел от равенства этой инерциальной массы гравитационному заряду в классической физике к ОТО таким образом. Это равенство позволяет переходом в неинерциальную систему отсчета гравитацию локально съесть (лифт Эйнштейна) Именно в этом духе и формулируется принцип эквивалентности применительно к ОТО - возможность компенсировать локально гравитационные эффекты изменением координат (фактически калибровочный принцип). С этой идеей естественным образом происходит переход от псевдоевклидового пространства Минковского к пространству с динамической псевдоримановой метрикой.

[Munin]

fizeg
Как насчёт добавить к рассказу несколько слов про квазичастицы в твёрдом теле и их механику? :-)

[fizeg]

Oleg Zubelevich
Точка, подвешенная к началу координат идеальным стержнем длиной $R$
$L=m\frac{\dot{\vec{x}}^2}{2}+\lambda(\vec{x}^2-R^2)-U(\vec{x})$
Где $\lambda$ лагранжев множитель для связи $\vec{x}^2=R^2$
Обращаясь с подобной штукой как с потенциалом вы получите силу $\vec{N}=\lambda\vec{x}$
Решая уравнения при учете связи вы фиксируете $\lambda$ и вместе с ним реакцию опоры.

-- 02.12.2012, 19:42 --

(Оффтоп)

Munin
Я, если честно, с ФТТ в не очень хороших отношениях Еще с тех времен, когда меня достало слушать про разницу между ОЦК и ГЦК и я вместо этого свертывал всякие конструкции из матриц Дирака Ну, все-таки лучше, чем сверлить подошву ботинка... Так что с твердым телом у меня некоторые комплексы. Если вы готовы добавить, с удовольствием послушаю и я

[Oleg Zubelevich]

fizeg в сообщении #653090 писал(а):

Точка, подвешенная к началу координат идеальным стержнем длиной $R$
$L=m\frac{\dot{\vec{x}}^2}{2}+\lambda(\vec{x}^2-R^2)-U(\vec{x})$
Где $\lambda$ лагранжев множитель для связи $\vec{x}^2=R^2$

а это просто чепуха. Если вы хотите написать уравнения Лагранжа со множителями, то в них $\lambda=\lambda(\vec{x},\dot \vec{x})$ (вообще говоря) и они совсем не будут похожи на уравнения с тем лагранжианом, что вы предлагаете. У вас $\lambda$ это что? число функция?