Решить систему рекуррентных уравнений

[DXIC]

Дана система рекуррентных уравнений и известно, что координаты ее решения $X_n$ и $Y_n$ не содержат постоянной составляющей. В ответе указать значение $d_1+d_2$.

Система:
$X_{n+1}=16x_n-8y_n+n+d_1$
$Y_{n+1}=4x_n+4y_n+n+d_2$

[Mitrius_Math]

Может, попробовать добавить ещё два уравнения, перейдя от $n+1$ к $n+2$, от $n$ к $n+1$, а дальше - вычитать?

[DXIC]

Mitrius_Math в сообщении #652741 писал(а):

Может, попробовать добавить ещё два уравнения, перейдя от $n+1$ к $n+2$, от $n$ к $n+1$, а дальше - вычитать?

Я просто вообще не понимаю как его решать(((

[ИСН]

А смысл его Вы понимаете? Предположим, были какие-то $(x_n,y_n)$ равны (1,2). Следующие, положим, оказались (3,4). Следующие за ними - (7,10). Как тут понять, есть ли какая-то постоянная составляющая?

[Mitrius_Math]

Посмотрите тут - http://www.egpu.ru/main/rus/struct/kath ... alt/DM.pdf. И ещё "Дискретная математика в примерах и задачах", Тишин.

[DXIC]

Mitrius_Math в сообщении #652746 писал(а):

Посмотрите тут - http://www.egpu.ru/main/rus/struct/kath ... alt/DM.pdf. И ещё "Дискретная математика в примерах и задачах", Тишин.

Посмотрел, все равно не понял как решить.

[bot]

ИСН в сообщении #652745 писал(а):

Как тут понять, есть ли какая-то постоянная составляющая?

Тоже хотел бы посмотреть, что это такое.

[alcoholist]

DXIC в сообщении #652733 писал(а):

не содержат постоянной составляющей

поясните

[ewert]

Это -- векторное рекуррентное уравнение вида $\vec u_{n+1}=A\vec u_n+n\vec e+\vec d$, где $\vec u=(x,y)^T,\ \ \vec e=(1,1)^T,\ \ \vec d=(d_1,d_2)^T.$ Общее его решение складывается из общего решения однородного уравнения (оно состоит из каких-то экспонент и нас не интересует) и частного решения неоднородного, которое в соответствии с правой частью стандартно ищется в виде $n\vec a+\vec b$ и определяется правой частью однозначно. По условию задачи должно быть $\vec b=\vec 0$. Подставляя $n\vec a$ в уравнение и приравнивая векторные множители при нулевой и при первой степенях $n$, мы сначала получаем $\vec a=\vec d$ и потом систему уравнений для компонент вектора $\vec d$.

Скорее всего, имелось в виду именно это. Хотя условие, конечно, корявенькое. Впрочем, это, судя по формулировке вопроса, какой-то тест; так чего ж от него и ждать.

[TOTAL]

Т.е. ищем решение в виде
$x_n=u_n+a \cdot n$
$y_n=v_n+b \cdot n$

Находим $a, b$ такие, что из уравнения исчезнет $n.$
Затем находим $d_1, d_2$ такие, что уравнение станет однородным.

Так, что ли?

[Someone]

Да, это правильный план действий.
Но лучше, наверное, просто поискать частное решение того вида, который указал ewert.

[ewert]

TOTAL в сообщении #652911 писал(а):

Так, что ли?

Нет, как-то не так. Ищем решение в виде $\vec u_n=n\vec a$. Подставляем в уравнение: $(n+1)\vec a=A\,n\vec a+n\vec e+\vec d$. Приравниваем коэффициенты при $n^0$ слева и справа: $\vec a=\vec d$, т.е. $\vec u_n=n\vec d$. Теперь приравниваем коэффициенты при $n^1$, получаем систему: $\vec d=A\,\vec d+\vec e$. Вот эту систему и остаётся решить.

[TOTAL]

ewert в сообщении #652930 писал(а):

TOTAL в сообщении #652911 писал(а):

Так, что ли?

Нет, как-то не так.

Так получаем $d_1 + d_2 = -2/7$
А теперь правильный ответ?

[ewert]

TOTAL в сообщении #652940 писал(а):

Так получаем $d_1 + d_2 = -2/7$
А теперь правильный ответ?

Он и есть правильный (в том смысле, что у меня получался такой же).

Я имел в виду, что, как тут уже неоднократно отмечалось, с формальной точки зрения постановка задачи довольно бессмысленна. Она приобретает осмысленность лишь если имеется в виду, что решение ищется не абы как, но именно в стандартной форме: $\vec u_n=(\vec u_{\text{оо}})_n+(\vec u_{\text{чн}})_n=(C_1\cdot\lambda_1^n\,\vec v_1+C_2\cdot\lambda_2^n\,\vec v_2)+(n\cdot\vec a+\vec b)$. Но тогда и решать следует именно по стандартной процедуре -- иначе слагаемое $\vec b$ теряет смысл.