Максимальное ортонормированное множество

[Alexeybk5]

Здравствуйте, помогите пожалуйста разобраться.


Определение:
------ $X$ - предгильбертово пространство, с определённым на нём скалярным произведением S.
S называется максимально ортонормированным множеством, если не существует ни одного элемента
$x \in X$ с $x \ne 0$ такого, что $x\perp S.$


Чтоже это за пространство такое ? Т.е. положим, что $y \in X$ , но вне $S$ тогда как $y$ может быть не перпендикулярным $S$ ?

ведь определение аутонормированного множеста, гласит противоположное

----- Множество $S \subsetqe X$ называется ортонормированным, если

$$\all x \in X, \all y \in X, x\ne y \Rightarrow x \perp y$$

или
$(x|y)=0$

п.с. Мне кажется , что мой вопрос вызыван тем, что у меня не правильно записано определение ортонормированного множества, должно быть

$$\all x \in S, \all y \in X, x\ne y \Rightarrow x \perp y$$

Верно ?

[ewert]

Alexeybk5 в сообщении #652856 писал(а):

----- Множество $S \subsetqe X$ называется ортонормированным, если

$$\all x \in X, \all y \in X, x\ne y \Rightarrow x \perp y$$

Определение не полно: это множество не ортонормированно, а всего лишь ортогонально. Не хватает условий нормировки.

Alexeybk5 в сообщении #652856 писал(а):

S называется максимально ортонормированным множеством, если не существует ни одного элемента
$x \in X$ с $x \ne 0$ такого, что $x\perp S.$

В приличном обществе то же самое формулируют гораздо короче: "... если из $x\perp S$ следует, что $x=0$".

[Alexeybk5]

Да, нужно ещё условие, что
$||x||=1$

Но всё равно, разве в этом определении
S-ортонормированное,....,если
$x \in X, y \in X$

а не

$x \in X, y \in S$
?

[Someone]

Alexeybk5 в сообщении #652909 писал(а):

Но всё равно, разве в этом определении
S-ортонормированное,....,если
$x \in X, y \in X$

а не

$x \in X, y \in S$
?

Ерунда какая-то. Посмотрите, пожалуйста, повнимательнее на определение ортонормированного множества. И точно это определение здесь воспроизведите.

P.S. $S\subseteq X$ пишется $S\subseteq X$ (обратите внимание на точную последовательность букв в слове "subseteq"). И вообще советую перед отправкой сообщения нажать кнопку "Предпросмотр" и посмотреть, что получится.