Каждый автоморфизм на N есть перестановка простых чисел?

[TOTAL]

nglain в сообщении #652233 писал(а):

Необходимо доказать, что каждый автоморфизм - это перестановка каких-то простых чисел.

Что надо доказать? (Слово "автоморфизм" не используйте.)

[nglain]

Я не знаю... Я думаю нужно доказать, что любое отображение мн-ва $\mathbb{N}$ на себя, которое инъективно (Разные элементы переходят в разные) и сюръективно (У каждого образа есть прообраз), и которое обладает св-вом: $\forall a,b \in \mathbb{N}$ $f(a \cdot b) =f(a) \cdot f(b)$, где операция "$\cdot$" - означает "делитель", другими словами, если $a$ делитель $b$, то $f(a)$ делитель $f(b)$. И все такие отображения являются перестановками простых чисел. Я думаю так.

[AV_77]

Вы начните с выяснения значения $f(1)$. Затем докажите, что если $p$ простое число, то $f(p)$ также простое. И т.д.

[TOTAL]

nglain в сообщении #652247 писал(а):

И все такие отображения являются перестановками простых чисел. Я думаю так.

Нет, уточняйте.

[Mathusic]

nglain в сообщении #652247 писал(а):

И все такие отображения являются перестановками простых чисел. Я думаю так.

Причем вы пишите в стартовом посте "в точности определяется перестановкой простых чисел", значит, помимо этого нужно доказать, что значения на составных числах определены однозначно (коль скоро уже заданы на простых) -- это раз.
С другой стороны, нужно доказать, что если $\varphi$ - искомый изоморфизм, то он переставляет простые числа. По-моему.

arseniiv в сообщении #652235 писал(а):

Если меняет 2 и 3, должен менять и 14 и 21.

Почему должен?

[bot]

nglain в сообщении #652233 писал(а):

Необходимо доказать, что каждый автоморфизм

Прежде чем говорить об автоморфизмах, надо определиться со структурой множества. Что такое автоморфизм? Это биективное отображение множества, относительно которого стабильны некоторые операции и отношения, определённые на множестве. Множество у Вас задано, а об операциях и отношениях ни гу-гу. Вот об этом у Вас и спрашивают. Если нет операций и нет отношений, то любая биекция является автоморфизмом.

[TOTAL]

bot в сообщении #652330 писал(а):

Множество у Вас задано, а об операциях и отношениях ни гу-гу.

Об отношении он сказал (одно число делит другое). Роль простых чисел в том, что требуется доказать, не может точно сформулировать (хотя были прямые подсказки).

[bot]

У него всё смешалось - операция это у него делимость

nglain в сообщении #652247 писал(а):

$\forall a,b \in \mathbb{N}$ $f(a \cdot b) =f(a) \cdot f(b)$, где операция "$\cdot$" - означает "делитель"

Так какова структура? Множество $\mathbb N$ рассматривается с отношением делимости или с операцией умножения или и с тем и с другим?
При этом перестановка части множества (простых чисел) никак не может быть автоморфизмом. Тут другие слова нужны - обычно употребляется слово индуцирует.

[Mathusic]

bot в сообщении #652341 писал(а):

У него всё смешалось - операция это у него делимость

Тут он просто не грамотно записал.
Следовало бы так. Биективное отображение $\varphi: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ -- изоморфизм, если сохраняет отношение делимости: $\forall a,b \in \mathbb{N} \ \big(a \ | \ b \Longrightarrow \varphi(a) \ | \ \varphi(b)\big).$

Никакую мультипликативность относительно стандартного умножения, насколько я понял, автор не подразумевает.

[nnosipov]

(Оффтоп)

Mathusic в сообщении #652380 писал(а):

Тут он просто не грамотно записал.

Точно, неграмотно. Или не очень грамотно.

[bot]

Mathusic в сообщении #652380 писал(а):

Никакую мультипликативность относительно стандартного умножения, насколько я понял, автор не подразумевает.

Не уверен - скорее наоборот, да и задача при этом проще, хотя и равноценна - мультипликативность определяет делимость, а делимость определяет умножение. И в любом случае следует устранить ещё одну погрешность.

[arseniiv]

Mathusic в сообщении #652254 писал(а):

Почему должен?

14 делится на 2, 21 — на 3. $\varphi(14)$ должно делиться на 3 и на $\varphi(7)$, а $\varphi(21)$ — на 2 и на $\varphi(7)$. Если остальные простые переходят в себя, то можно (надеюсь) показать, что 14 и 21, как наименьшие из кратных для $(2, 7)$ и $(3, 7)$, должны меняться местами. Если остальные простые переходят в другие, то у меня получается, конечно, ошибка — 14 и 21 будут переходить в какие-нибудь другие числа, а не друг в друга.

[bot]

Вообще-то решётка по делимости определяет умножение по формуле $\gcd(a,b)\text{lcm}(a,b)=ab$, так что при любом раскладе получится одно и то же, но задача когда операция первична, а делимость вторична проще, чем наоборот.