Подмодули

[dsacode]

Есть такая задача:
Найти все подмодули в векторнорном пространстве с базисом (e_1,\ldots,e_n) как модуле над кольцом всех диагональных матриц, если diag(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) * (\alpha_1 e_1 + \ldots + \alpha_n e_n) = \lambda_1 \alpha_1 e_1 + \ldots + \lambda_n \alpha_n e_n.

Правильно я понимаю, что все подмодули будут находиться в виде прямой суммы неприводимых подмодулей вида (e_1,0, \ldots, 0), (0,e_2, \ldots, 0), \ldots, (0,0, \ldots, e_n).

[lofar]

Именно так. Всего будет $2^n$ подмодулей.

[dsacode]

lofar писал(а):

Именно так. Всего будет $2^n$ подмодулей.

А нет ли способа показать, что любой подмодуль представим в таком виде?

[lofar]

Пусть $R$ --- кольцо всех диагональных матриц (над котрым рассматривается модуль). Пусть $A$ --- произвольный подмодуль. Тогда если $I = \{i\,|\,{\bf e}_i\in A\}$, то

$$ A = \bigoplus_{i\in I} R{\bf e}_i. $$

Иными словами, $A$ есть прямая сумма простых подмодулей порожденных теми базисными векторами которые попали в $A$. Доказательство этого факта --- простая проверка.