2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Подмодули
Сообщение08.01.2006, 12:17 
Есть такая задача:
Найти все подмодули в векторнорном пространстве с базисом (e_1,\ldots,e_n) как модуле над кольцом всех диагональных матриц, если diag(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) * (\alpha_1 e_1 + \ldots + \alpha_n e_n) = \lambda_1 \alpha_1 e_1 + \ldots + \lambda_n \alpha_n e_n.

Правильно я понимаю, что все подмодули будут находиться в виде прямой суммы неприводимых подмодулей вида (e_1,0, \ldots, 0), (0,e_2, \ldots, 0), \ldots, (0,0, \ldots, e_n).

 
 
 
 Да, Вы правы
Сообщение08.01.2006, 13:30 
Аватара пользователя
Именно так. Всего будет $2^n$ подмодулей.

 
 
 
 Re: Да, Вы правы
Сообщение18.01.2006, 22:06 
lofar писал(а):
Именно так. Всего будет $2^n$ подмодулей.

А нет ли способа показать, что любой подмодуль представим в таком виде?

 
 
 
 Можно конечно
Сообщение19.01.2006, 00:13 
Аватара пользователя
Пусть $R$ --- кольцо всех диагональных матриц (над котрым рассматривается модуль). Пусть $A$ --- произвольный подмодуль. Тогда если $I = \{i\,|\,{\bf e}_i\in A\}$, то
$$
A = \bigoplus_{i\in I} R{\bf e}_i.
$$
Иными словами, $A$ есть прямая сумма простых подмодулей порожденных теми базисными векторами которые попали в $A$. Доказательство этого факта --- простая проверка.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group