Перенормировка массовой поверхности (КЭД)

[pupsik]

Пытаюсь понять перенормировки в КЭД и нахожусь в полном замешательстве. Вот утверждается, что устранение расходимостей из диаграмм Фейнмана эквивалентно введению контрчленов в Лагранжиан взаимодействия, коэффициенты в которых зависят от параметров регуляризации (см. например, страницу 339 книги Боголюбов, Ширков "Введение в теорию квантовых полей). Потом утверждается, что, например, добавка члена $\delta m \overline{\psi}\psi$ эквивалентна изменению массы электрона на $\delta m$. Как это делается для внутренней ЭП-линии, я, кажется, понял (сумма геометрической прогрессии и всё такое). А вот что делать с внешними линиями, импульсы которых обязаны лежать на массовой поверхности $p^2=m^2$? Вроде бы, эта масса тоже должна измениться на $\delta m$, но как это происходит? Я уже десяток учебников перерыл, и не могу найти ответа на этот вопрос. С одной стороны кажется, что я упорно какую-то ключевую идею не понимаю, а с другой - что авторы учебников сами не до конца понимают и умело обходят этот вопрос, отделываясь общими фразами. Вот вроде бы массовая поверхность появляется из гамильтониана свободных полей $H_0$. Кажется, что если долбанный член $\delta m \overline{\psi}\psi$ из взаимодействия перенести в $H_0$, то мы получим правильную массовую поверхность, но тогда фокус с геометрической прогрессией не прокатит, да и вообще электронный пропагатор изменится не самым лучшим образом. Тогда можно перенормировать вакуум (в определения положительно-частотных и отрицательно-частотных функций вставить новую массу), в этом случае вроде бы всё получается правильно, но, во-первых, почему про это ни слова в учебниках, а, во-вторых, что делать с наблюдаемой массой? Кажется, что массовая поверхность должна соответствовать наблюдаемой массе, а она может быть и не равна $m+\delta m$. Или я не прав? Просьба дать мне пинка в правильном направлении

[espe]

Все контрчлены относятся к взаимодействию, в том числе и квадратичные по полям, и $H_0$ остаётся без изменений.

[Alex-Yu]

pupsik в сообщении #650374 писал(а):

А вот что делать с внешними линиями, импульсы которых обязаны лежать на массовой поверхности $p^2=m^2$?

Суть перенормировки в том, что параметры лагранжиана (в частности m) это совсем не то, что измеряют экспериментаторы. Естественно, этот факт надо учесть при учете взаимодействия и все выразить через экспериментальную массу и т.д. Перенормировки массы и заряда во внутренних частях диаграммы "перепутываются", тут требуется специальная работа. Что же до внешних линий, то туда надо просто подставить экспериментальную массу. Естественно m в них это совсем не "затравочная" масса, а перенормированная. При могучем желании можете заняться переонормировками массы во внешних линиях, но тогда эти внешние линии автоматически перестанут быть внешними , туда же петли будут вставлены. Реальная проблема в том и заключается, чтобы выразить все, что внутри, через то, что во внешних линиях: реальные физические параметры. Ну вот где-то так.

Вообще перенормировка на языке контрчленов это физически довольно неясная вещь. Реальная же суть заключается в том, что мы часть свободного лагранжиана перебрасываем в лагранжиан взаимодействия как раз так, чтобы сократились расходимости. Вот что останенется в свободном лагранжиане после переброски, вот то и есть физическая масса (тут есть тонкости, о которых Вы узнаете когда до ренорм-группы доберетесь), вот то и должно фигурировать во внешних линиях. По моему отсюда довольно очевиден ответ на Ваш вопрос.

[SergeyGubanov]

Хотелось бы присоединится к вопросу pupsik, но только немного с другой стороны.

У Боголюбова-Ширкова, в книге "Квантовые поля" читаем:

Цитата:

25.4. Расходимости и обобщенные функции.

Возможна еще одна точка зрения на процесс устранения ультрафиолетовых расходимостей, который эффективно сводится к вычитанию из расходящихся матричных элементов соответствующих полиномов. Обратим внимание на то, что расходящимся фейнмановским интегралам по виртуальным импульсам в координатном представлении всегда соответствуют произведения некоторого числа пропагаторов ... Как было установлено в § 18 3, эти. последние содержат слагаемые типа $\theta(x)$, $\delta(x)$ и с математической точки зрения являются обобщенными функциями, В отличие от обычных функций математического анализа, отвечающих отображению число $\to$ число, обобщенные функции определяются как ядра линейных функционалов и задают отображение функция $\to$ число. Поэтому операция умножения обобщенных функций друг на друга требует особого определения. Не вдаваясь в подробности этого довольно сложного вопроса (см. Введение, §§ 18, 19), отметим здесь, что переход типа ... можно рассматривать как определение произведения .... Иными словами, можно положить ... где правая часть определена согласно B). При таком способе рассуждений ультрафиолетовые расходимости вообще не фигурируют в S-матрице и нет нужды заниматься бесконечными перенормировками масс и зарядов.

Вопросы.

• А где бы по-подробнее узнать про описанную, э-э-э "точку зрения" про грамотное употребление обобщённых функций в КТП?
  
• Если известно, что обобщённые функции нельзя умножать так как это делают с "точечными" функциями, то какого лешего в КТП их таки берут и умножают по обычному (получая расходимости)? Где логика?

[Alex-Yu]

SergeyGubanov в сообщении #650458 писал(а):

сли известно, что обобщённые функции нельзя умножать так как это делают с "точечными" функциями, то какого лешего в КТП их таки берут и умножают по обычному (получая расходимости)?

Читайте Боголюова-Ширкова ("большой" том) более обстоятельно. Произведение обобщенных функций это не полная бессмыслица, но требуются ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ условия. Определить можно, но бесконечным числом способов (выбор делается из физических, но никак не математических соображений). Это произведение определено с точностью до так называемого квазилокального оператора (что, впрочем, вовсе не оператор, а опять же обобщенная функция). Можно, пожалуй, сказать, что произведение двух обобщенных функций это не одна обобщенная функция, а некий класс обобщенных функций. В общем с этим к Боголюбову с Ширковым, но не к их сокращенному варианту для студентов младших курсов 80-го года издания.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #650472 писал(а):

В общем с этим к Боголюбову с Ширковым, но не к их сокращенному варианту для студентов младших курсов 80-го года издания.

"Сокращённый вариант" (на самом деле самостоятельная книга) выпускался под названием "Квантовые поля", "большой том" - под названием "Введение в теорию квантовых полей".

[pupsik]

Alex-Yu в сообщении #650408 писал(а):

Что же до внешних линий, то туда надо просто подставить экспериментальную массу.

Вот мне совсем непонятно, как это так - взять и подставить. У этого же какие-то основания должны быть?

Alex-Yu в сообщении #650408 писал(а):

Вообще перенормировка на языке контрчленов это физически довольно неясная вещь. Реальная же суть заключается в том, что мы часть свободного лагранжиана перебрасываем в лагранжиан взаимодействия как раз так, чтобы сократились расходимости. Вот что останенется в свободном лагранжиане после переброски, вот то и есть физическая масса (тут есть тонкости, о которых Вы узнаете когда до ренорм-группы доберетесь), вот то и должно фигурировать во внешних линиях.

Вопрос №1: где про это можно почитать (книга, страницы)?
Вопрос №2: всё-таки вакуум надо перенормировать или нет?

-- 27.11.2012, 20:46 --

Где почитать, что есть тру внешняя линия?

[type2b]

ответ на ваш вопрос составляет содержание теоремы Лемана-Симанчика-Циммермана. Утверждение теоремы можно посмотреть у Пескина-Шредера, но с очень запутанным выводом. Где посмотреть более ясный вывод -- не знаю.
А самый простой взгляд на это дело -- возьмите диаграмму, распадающуюся на две при разделении по внешней линии, и один из двух кусков унесите подальше. Внутренняя линия, со всеми своими перенормировками, высадится он-шелл, получится внешняя линия.

Кстати, не вижу, что в этой теме дискуссионного.

[pupsik]

type2b в сообщении #650566 писал(а):

ответ на ваш вопрос составляет содержание теоремы Лемана-Симанчика-Циммермана

Это она?

[VladimirKalitvianski]

Alex-Yu в сообщении #650408 писал(а):

Суть перенормировки в том, что параметры лагранжиана (в частности m) это совсем не то, что измеряют экспериментаторы.

Суть проблемы в том, что теоретики пишут неправильное взаимодействие, которое потом вынуждены исправлять контрчленами.

-- 27.11.2012, 21:36 --

Цитата:

Если известно, что обобщённые функции нельзя умножать так, как это делают с "точечными" функциями, то какого лешего в КТП их таки берут и умножают по обычному (получая расходимости)? Где логика?

Никто специально не стремится их умножать, просто "так получается" в теории с таким выбором "взаимодействия".

Конечно, глупо уверять себя и других, что нечто неопределенное можно считать/сделать определенным исходя из "физических соображений". Ирония в том, что перенормировки помогают исправить неправильное решение, но "неправильность" теоретики сваливают на константы, а не на придуманное ими взаимодействие. П. Дирак был один из немногих, кто указывал на неправильность взаимодействия.

[Munin]

Чтобы написать формулу $ax^2+bx+c,$ надо сначала написать "неправильные" формулы $ax^2,$ $ax^2+bx,$ и никого это не смущает. Один вы такой требовательный.

[VladimirKalitvianski]

Munin в сообщении #650725 писал(а):

Чтобы написать формулу $ax^2+bx+c,$ надо сначала написать "неправильные" формулы $ax^2,$ $ax^2+bx,$ и никого это не смущает. Один вы такой требовательный.

Неконструктивный комментарий к еще одной (не только моей) точке зрения на проблему.

[Munin]

VladimirKalitvianski в сообщении #650732 писал(а):

о еще одной (не только моей) точке зрения

Гордиться тут нечем. Вы сказали глупость, кто-то ещё из 6 млрд людей сказал ту же глупость - ну и что? Комментария вы не поняли, до Дирака вам как до Луны...

[VladimirKalitvianski]

Munin в сообщении #650744 писал(а):

VladimirKalitvianski в сообщении #650732 писал(а):

о еще одной (не только моей) точке зрения

Гордиться тут нечем. Вы сказали глупость, кто-то ещё из 6 млрд людей сказал ту же глупость - ну и что? Комментария вы не поняли, до Дирака вам как до Луны...

Сплошная неконструктивная брань, фу!

[Munin]

VladimirKalitvianski в сообщении #650748 писал(а):

Сплошная неконструктивная брань, фу!

Именно это я хотел сказать про ваше сообщение post650692.html#p650692 . Но высказался более мягко и конкретно. Зря, как оказалось. Не было смысла церемониться.