Число с необычным квадратом

[Ktina]

Найти натуральное число, в десятичной записи квадрата которого встречаются все 10 цифр и каждая ровно по одному разу.
Я не совсем представляю, как можно такое без компа решить. Подскажите, пожалуйста.

[ewert]

Ktina в сообщении #650433 писал(а):

Я не совсем представляю, как можно такое без компа решить. Подскажите, пожалуйста.

Почему именно без компа-то?...

  1).  11826 ^2 =  139854276
  2).  12363 ^2 =  152843769
  3).  12543 ^2 =  157326849
  4).  14676 ^2 =  215384976
  5).  15681 ^2 =  245893761
  6).  15963 ^2 =  254817369
  7).  18072 ^2 =  326597184
  8).  19023 ^2 =  361874529
  9).  19377 ^2 =  375468129
 10).  19569 ^2 =  382945761
 11).  19629 ^2 =  385297641
 12).  20316 ^2 =  412739856
 13).  22887 ^2 =  523814769
 14).  23019 ^2 =  529874361
 15).  23178 ^2 =  537219684
 16).  23439 ^2 =  549386721
 17).  24237 ^2 =  587432169
 18).  24276 ^2 =  589324176
 19).  24441 ^2 =  597362481
 20).  24807 ^2 =  615387249
 21).  25059 ^2 =  627953481
 22).  25572 ^2 =  653927184
 23).  25941 ^2 =  672935481
 24).  26409 ^2 =  697435281
 25).  26733 ^2 =  714653289
 26).  27129 ^2 =  735982641
 27).  27273 ^2 =  743816529
 28).  29034 ^2 =  842973156
 29).  29106 ^2 =  847159236
 30).  30384 ^2 =  923187456
 31).  32043 ^2 = 1026753849
 32).  32286 ^2 = 1042385796
 33).  33144 ^2 = 1098524736
 34).  35172 ^2 = 1237069584
 35).  35337 ^2 = 1248703569
 36).  35757 ^2 = 1278563049
 37).  35853 ^2 = 1285437609
 38).  37176 ^2 = 1382054976
 39).  37905 ^2 = 1436789025
 40).  38772 ^2 = 1503267984
 41).  39147 ^2 = 1532487609
 42).  39336 ^2 = 1547320896
 43).  40545 ^2 = 1643897025
 44).  42744 ^2 = 1827049536
 45).  43902 ^2 = 1927385604
 46).  44016 ^2 = 1937408256
 47).  45567 ^2 = 2076351489
 48).  45624 ^2 = 2081549376
 49).  46587 ^2 = 2170348569
 50).  48852 ^2 = 2386517904
 51).  49314 ^2 = 2431870596
 52).  49353 ^2 = 2435718609
 53).  50706 ^2 = 2571098436
 54).  53976 ^2 = 2913408576
 55).  54918 ^2 = 3015986724
 56).  55446 ^2 = 3074258916
 57).  55524 ^2 = 3082914576
 58).  55581 ^2 = 3089247561
 59).  55626 ^2 = 3094251876
 60).  56532 ^2 = 3195867024
 61).  57321 ^2 = 3285697041
 62).  58413 ^2 = 3412078569
 63).  58455 ^2 = 3416987025
 64).  58554 ^2 = 3428570916
 65).  59403 ^2 = 3528716409
 66).  60984 ^2 = 3719048256
 67).  61575 ^2 = 3791480625
 68).  61866 ^2 = 3827401956
 69).  62679 ^2 = 3928657041
 70).  62961 ^2 = 3964087521
 71).  63051 ^2 = 3975428601
 72).  63129 ^2 = 3985270641
 73).  65634 ^2 = 4307821956
 74).  65637 ^2 = 4308215769
 75).  66105 ^2 = 4369871025
 76).  66276 ^2 = 4392508176
 77).  67677 ^2 = 4580176329
 78).  68763 ^2 = 4728350169
 79).  68781 ^2 = 4730825961
 80).  69513 ^2 = 4832057169
 81).  71433 ^2 = 5102673489
 82).  72621 ^2 = 5273809641
 83).  75759 ^2 = 5739426081
 84).  76047 ^2 = 5783146209
 85).  76182 ^2 = 5803697124
 86).  77346 ^2 = 5982403716
 87).  78072 ^2 = 6095237184
 88).  78453 ^2 = 6154873209
 89).  80361 ^2 = 6457890321
 90).  80445 ^2 = 6471398025
 91).  81222 ^2 = 6597013284
 92).  81945 ^2 = 6714983025
 93).  83919 ^2 = 7042398561
 94).  84648 ^2 = 7165283904
 95).  85353 ^2 = 7285134609
 96).  85743 ^2 = 7351862049
 97).  85803 ^2 = 7362154809
 98).  86073 ^2 = 7408561329
 99).  87639 ^2 = 7680594321
100).  88623 ^2 = 7854036129
101).  89079 ^2 = 7935068241
102).  89145 ^2 = 7946831025
103).  89355 ^2 = 7984316025
104).  89523 ^2 = 8014367529
105).  90144 ^2 = 8125940736
106).  90153 ^2 = 8127563409
107).  90198 ^2 = 8135679204
108).  91248 ^2 = 8326197504
109).  91605 ^2 = 8391476025
110).  92214 ^2 = 8503421796
111).  94695 ^2 = 8967143025
112).  95154 ^2 = 9054283716
113).  96702 ^2 = 9351276804
114).  97779 ^2 = 9560732841
115).  98055 ^2 = 9614783025
116).  98802 ^2 = 9761835204
117).  99066 ^2 = 9814072356

[Keter]

ewert, но там в первых 30 нуля вообще нет. Интересно, есть ли какая-то закономерность?

[ewert]

Keter в сообщении #650707 писал(а):

но там в первых 30 нуля вообще нет.

Это лишь для полноты картины. Для полноты я решил не исключать и варианты, в которых нолик стоит на старшей позиции.

Закономерность?... -- вряд ли какая простая. Скажем, наличие подобных комбинаций впервые наблюдается в четверичной системе отсчёта (если я ничего не напутал). Далее, возможно, их наличие можно доказать индукцией по основанию системы; а может, и не можно; думать лень.

[gris]

Кстати, возникли такие вопросы:
Существуют ли квадраты из одинаковых цифр, из только нечётных цифр (исключая 1 и 9)
Существуют ли большие степени из разных 10 цифр? Вроде бы для большей третьей и не видно (?).
Увидел удивительную закономерность: пятая степень целого числа оканчивается на ту же цифру, что основание.

[bot]

gris в сообщении #650877 писал(а):

Увидел удивительную закономерность

А чего здесь удивительного? Малая теорема Ферма
$x^5\equiv x \pmod {2}\& x^5\equiv x \pmod {5}\Rightarrow x^5\equiv x \pmod {10}$.

[nnosipov]

Какой удар со стороны классика!

[gris]

Подумаешь! Я и без классика запросто это доказал через делимость $n^5-n$ на десять.

[bot]

(Оффтоп)

Всё ясно - он глумится, а мы всерьёз чуть было не приняли

[Mathusic]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #650887 писал(а):

Какой удар со стороны классика!

В роли классика кто выступает?

[nnosipov]

(Оффтоп)

Я намекал на П. Ферма. Хотя А.С. Пушкин тоже подойдёт.

[gris]

Просто я, увидев столбец из пятых степеней, изумился его правому краю. Свойство действительно простое, но я же на помню их наизусть. Где глумление? (да и настроение последнее время не располагает к юмору)
А Ktina забрасывает свои темы. Нет чтобы сказать что-то по-поводу.

[Ktina]

gris в сообщении #651069 писал(а):

А Ktina забрасывает свои темы.

(Оффтоп)

Не смогла решить и попросила помощи. Чего Вы ожидали от меня? Гениального решения?

[longstreet]

Комментариев)

[Ktina]

longstreet в сообщении #651161 писал(а):

Комментариев)

(Оффтоп)

Простите, но если я начну заниматься комментариями, у меня не останется времени для того, чтобы придумывать новые задачи. А безосновательно рассчитывать на победу трансгуманизма не хочу, посему беру за аксиому, что жизнь не вечна.