Найти сумму....

[Laplap]

$1/(1+x+xy)+1/(1+y+yz)+1/(1+z+zx)$, если $ xyz=1$.

натолкните на мысль..

[ИСН]

1. Узнайте, чему это равно на самом деле.
2. Вычитайте из ответа эти слагаемые по одному.
3. После каждого вычитания делаем следующий трюк: 1 в знаменателе заменяем на $xyz$, выносим общий множитель - и брюки превращаются...

[Slip]

Попробуйте заменить какую-нибудь единицу на $xyz$ и посмотреть, как это может упростить ваше выражение.

[Laplap]

ИСН в сообщении #650625 писал(а):

1. Узнайте, чему это равно на самом деле.

как?...

Slip в сообщении #650629 писал(а):

Попробуйте заменить какую-нибудь единицу на $xyz$ и посмотреть, как это может упростить ваше выражение.

если заменяю все единицы, в числителях получается $yz, xz, xy$, а знаменатели остаются такие же, только уже в другом порядке. можно из этого сделать вывод, что эти произведения равны единицам? или нет?..

[ИСН]

Если эти произведения (или хотя бы какое-то из них) равнялись нулю, то что можно было бы сказать про $xyz=?$

[EtCetera]

Я бы предложил проделать тоже самое, что и ИСН, только в обратном порядке (тогда п. 1, очевидно, не потребуется). Домножаем первую дробь на $z$, узнаем $xyz$, складываем дроби с одинаковым знаменателем, домножаем..., складываем...

[ИСН]

"Как"... Да, пожалуй, без железяки никак. Тогда другой совет: просто складывайте их по порядку. Перед каждым сложением модифицируйте одно слагаемое. Не все сразу!

[Slip]

а вы попробуйте заменить сначала только в первом слагаемом - тогда какой знаменатель получится? а если только во втором? а теперь, может, можно сделать так, чтобы все три знаменателя стали очень похожи?

[Laplap]

Умножила первую дробь на $z$, сложила, потом вторую умножила на $y$, все сложила, сократила и получилась Адиница)). Спасибо большущее))