Многочлен над кольцом

[xmaister]

Пусть $F$- какое-то конечное расширение поля частных кольца $A$, $A$- кольцо главных идеалов $f,g\in A[x]$, где старший коэффициент у $g(x)$- 1. Верно ли, что если $g|f$ в $F[x]$, то $g|f$ в $A[x]$?

[apriv]

Я думаю, что это верно даже если это не кольцо главных идеалов, а любая область целостности, и $F$ — любое поле, в которое $A$ вкладывается.

[xmaister]

apriv
А не могли бы Вы подсказать идею доказательства?

[nnosipov]

Просто делите уголком. Поскольку старший коэффициент $g$ равен единицы, всё будет хорошо.

[apriv]

Подсказка: поделите $f$ на $g$ с остатком в кольце $A[x]$.