Предел. Помогите разобраться.

[Aspire]

Дан предел

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos(4x)}{2\arcsin^2(2x)}.$


Не могу понять как необходимо преобразовать знаменатель, как из арксинуса выразить синус.

Заранее благодарю за помощь.

[Munin]

Никак не преобразовать. Нужно рассматривать по порядкам малости, например, по правилу Лопиталя.

Формулы желательно писать при помощи форумного тега math:
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos(4x)}{2\arcsin^2(2x)}.$

[Limit79]

Используйте эквивалентные бесконечно малые функции.

[Praded]

Это задача на первый замечательный предел. Вот под него и нужно подвести.
Из пушек по воробьям не стреляют.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: Формулы не написаны ТеХом

Наберите формулы ТеХом, как написано здесь, после чего сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено и тогда тема будет возвращена

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

[Aspire]

Munin в сообщении #650234 писал(а):

Никак не преобразовать. Нужно рассматривать по порядкам малости, например, по правилу Лопиталя.

По заданию нельзя использовать правило Лопиталя.

[ИСН]

Но уж замечательный предел-то использовать можно? А кроме него, тут ничего нет. Верх разворачиваем в квадрат синуса, и...

[Aspire]

ИСН в сообщении #650305 писал(а):

Верх разворачиваем в квадрат синуса, и...

То что числитель необходимо приобразовать к квадрату синуса, это я понял, но что далее делать с арксинусом, вот с этим небольшая проблемка

[ИСН]

Чему, как Вы думаете, равен $\lim\limits_{x\to0}{\arcsin x\over x}$?

[Aspire]

ИСН в сообщении #650312 писал(а):

Чему, как Вы думаете, равен $\lim\limits_{x\to0}{\arcsin x\over x}$?

Согласно первому замечательному пределу: $\lim\limits_{x\to0}{\arcsin x\over x}= 1$

[ИСН]

Так. Теперь всё ли понятно с $\lim\limits_{x\to0}{\sin x\over \arcsin x}$?

[Aspire]

ИСН в сообщении #650336 писал(а):

Так. Теперь всё ли понятно с $\lim\limits_{x\to0}{\sin x\over \arcsin x}$?

$\lim\limits_{x\to0}{\sin x\over \arcsin x}$ также будет равен 1.

[ИСН]

Ну а чем он отличается от того, что у Вас есть?

[Aspire]

Все разобрался, ответ у меня получился 1.

ИСН, спасибо Вам большое за помощь.