Z_p[x]

[AlinkoMalinko]

Добрый вечер, очень нужно разобраться с $\mathbb Z_p[x]$

О $\mathbb Z_p$ прочла в "Кострикином". Почему это поле разобралась....
Но, если $\mathbb Z_p[x]$ - многочлен, коэффициенты которого берутся из $\mathbb Z_p$, что делать с делением?

Есть ли у многочленов обратные?

Вообщем, ничегошеньки не понятно....

[xmaister]

$\mathbb{Z}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$? А $p\mathbb{Z}$- максимальный идеал $\mathbb{Z}$.

AlinkoMalinko в сообщении #650199 писал(а):

Но, если $\mathbb Z_p[x]$ - многочлен, коэффициенты которого берутся из $\mathbb Z_p$, что делать с делением?

А кто такой вообще этот $\mathbb{Z}_p[x]$? Какие там элементы, какие операции?

[Xaositect]

В кольце многочленов обратных нет. Можете доказать общее утверждение - для произвольного поля $K$ обратимыми элементами в $K[x]$ являются только ненулевые постоянные многочлены (элементы $K$).

Если хочется обратные, можно взять поле рациональных функций $\mathbb{F}_p(x)$ (Я использую $\mathbb{F}_p$, потому что $\mathbb{Z}_p$ - это общепринятное обознацение кольца целых $p$-адических чисел).

[AlinkoMalinko]

Xaositect в сообщении #650208 писал(а):

В кольце многочленов обратных нет. Можете доказать общее утверждение - для произвольного поля $K$ обратимыми элементами в $K[x]$ являются только ненулевые постоянные многочлены (элементы $K$).

Если хочется обратные, можно взять поле рациональных функций $\mathbb{F}_p(x)$ (Я использую $\mathbb{F}_p$, потому что $\mathbb{Z}_p$ - это общепринятное обознацение кольца целых $p$-адических чисел).

Спасибо за ответ, а чем поможет поле рациональных функций? Единица в поле многочленов получается, если только свободный член равен 1, все остальные ноль. При умножении двух полиномов степени n и m, как минимум у старшей степени будет не нулевое число. Тоесть, обратного полинома нет.

-- 26.11.2012, 22:16 --

Просто, мой преподаватель задал написать калькулятор в кольце $\mathbb Z_p[x]$ на Csharp. На мой вопрос о делении, он сказал что оно должно быть. Может кто-то предположить что он мог подразумевать? Толи я чего-то не понимаю, толи он издевается....

Думала о делении с остатком...Тоже ничего не сходится.... Если делить x на 2x, то получим x в остатке... Что глупо

[xmaister]

AlinkoMalinko в сообщении #650221 писал(а):

Если делить x на 2x, то получим x в остатке...

Степень остатка всегда меньше степени делителя, а у Вас равна.

[AlinkoMalinko]

xmaister в сообщении #650204 писал(а):

$\mathbb{Z}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$? А $p\mathbb{Z}$- максимальный идеал $\mathbb{Z}$.

AlinkoMalinko в сообщении #650199 писал(а):

Но, если $\mathbb Z_p[x]$ - многочлен, коэффициенты которого берутся из $\mathbb Z_p$, что делать с делением?

А кто такой вообще этот $\mathbb{Z}_p[x]$? Какие там элементы, какие операции?

О самом $\mathbb{Z}_p[x]$ ничего не нашла, насколько понимаю, это кольцо полиномов над $\mathbb{Z}_p$.
В кольце полиномов есть операция сложения,вычитания и умножения, вводятся способом вполне тривиальным для полиномов (как "обычные"). Только, учитывая специфику $\mathbb{Z}_p$ числа дающие одинаковый остаток при делении на p отождествляются

-- 26.11.2012, 22:30 --

xmaister в сообщении #650229 писал(а):

AlinkoMalinko в сообщении #650221 писал(а):

Если делить x на 2x, то получим x в остатке...

Степень остатка всегда меньше степени делителя, а у Вас равна.

Именно это меня и смущает

[xmaister]

AlinkoMalinko в сообщении #650231 писал(а):

Именно это меня и смущает

$x|2x$ в $\mathbb{F}_p[x],p\ne 2$.

AlinkoMalinko в сообщении #650221 писал(а):

На мой вопрос о делении, он сказал что оно должно быть.

В $\mathbb{F}_p[x]$ 2 произвольных полинома нацело разделить не получится.

[Joker_vD]

$x=\frac{p+1}{2}\cdot 2x+0$, делится без остатка. Ну, если $p\ne2$. А так что ж, ну будет у вас деление многочленов с остатком.

[mihailm]

(Оффтоп)

AlinkoMalinko в сообщении #650199 писал(а):

...прочла в "Кострикином"...

почему в кавычках, и почему Кострикином?
Типа, в Кострикином учебнике? тогда уж в кострикинском (без кавычек).
Правильнее - в Кострикине, прочла в Кострикине
)))

[AlinkoMalinko]

mihailm в сообщении #650591 писал(а):

(Оффтоп)

AlinkoMalinko в сообщении #650199 писал(а):

...прочла в "Кострикином"...

почему в кавычках, и почему Кострикином?
Типа, в Кострикином учебнике? тогда уж в кострикинском (без кавычек).
Правильнее - в Кострикине, прочла в Кострикине
)))

Спасибо, очень по сути, вы мне очень помогли

[mihailm]

(Оффтоп)

Не в коня корм