Оценка для простого [Теория чисел]

[Whitaker]

Здравствуйте, уважаемые друзья!

Доказать существование постоянного $s_0>2$ с условием, что при любом целом $s>s_0$ для $s$-го простого числа $p_s$ имеет место неравенство

$$p_s<1,5s\ln s$$

[nnosipov]

Оценки Чебышёва пора бы изучить. За полуторную константу здесь придётся побороться, но ведь можно и оригинальную работу Чебышёва разобрать, там константы $a$ и $b$ весьма близки к единице.

[Sonic86]

Это в смысле ничем нельзя пользоваться (например, для док-ва достаточно знать $\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}$)?

-- Пн ноя 26, 2012 11:26:52 --

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #649888 писал(а):

Оценки Чебышёва пора бы изучить. За полуторную константу здесь придётся побороться, но ведь можно и оригинальную работу Чебышёва разобрать, там константы $a$ и $b$ весьма близки к единице.

Кстати, мне непонятно, откуда вообще в учебниках эта вещь от Чебышёва. У него в избранных трудах сразу строится оценка $\pi(x)\approx\operatorname{Li}(x)$, но вообще другим способом.

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #649889 писал(а):

Это в смысле ничем нельзя пользоваться

А иначе как-то неинтересно. Хотя аккуратно вывести из асимптотического закона тоже полезное упражнение, только по математическому анализу, а не по теории чисел.

[lek]

nnosipov в сообщении #649888 писал(а):

...там константы $a$ и $b$ весьма близки к единице.

$a=0,921$ и $b=1,106$

[Whitaker]

nnosipov
Я знаю такую теорему: Существуют постоянные $a$ и $A$, $0<a<A$, такие, что для всех достаточно больших $x$ имеет место неравенство:

$$a\dfrac{x}{\ln x}<\pi(x)<b\dfrac{x}{\ln x},$$

где $\pi(x)=\sum \limits_{p \leqslant x}1$

(Оффтоп)

Честно говоря, про распределение простых я пока, что мало знаю.. наверное только вышеуказанную теорему

[nnosipov]

lek в сообщении #649893 писал(а):

$a=0,921$ и $b=1,106$

Именно. По сравнению с тем, что обычно приводят в учебниках ($a=0.5\ln{2}=0.34$ и $b=5\ln{2}=3.46$), это довольно близко к единице.

-- Пн ноя 26, 2012 18:47:35 --

Whitaker, а доказывать эту теорему умеете? Доказательство вполне элементарное, поизучать его можно, например, по книжке Галочкина, Нестеренко, Шидловского "Введение в аналитическую теорию чисел" (уж не оттуда ли Вы взяли это упражнение про $p_n$?).

[Whitaker]

nnosipov
Доказывать его я умею, а доказательство я читал в книге К. Чандрасекхарана "Введение в АТЧ". В книгу Нестеренко Ю.В. тоже загляну. Нет это упражнение из книги Виноградова.

[Whitaker]

nnosipov
Вроде у меня такое получается:
Взяв в теореме Чебышева $x=p_n$, то $\pi(p_n)=n>a\dfrac{p_n}{\ln p_n}>\sqrt{p_n}$ начиная с некоторого номера $n>N_0$
Отсюда получаем, что: $p_n<n^2$ или $\ln p_n<2\ln n$
Дальше получаем $ap_n<n\ln p_n<2n\ln n,$ т.е. $p_n<\dfrac{2n}{a}\ln n$
Но вот получит коэффициент $\frac{3}{2}$ у меня не получается. Хотя если вот эта константа $a$ больше единицы, то я получил, что $p_n<\dfrac{3n}{2}\ln n$, но я же не знаю она $>1$ или $<1$

[Sonic86]

Whitaker в сообщении #649938 писал(а):

$\pi(p_n)=n>a\dfrac{p_n}{\ln p_n}>\sqrt{p_n}$

Можно взять точнее $\frac{p}{\ln p}>p^{1-\epsilon}$.

[nnosipov]

Whitaker, грубовато оценили с самого начала, когда написали $\sqrt{p_n}$. Вот и вылезла двойка, которая совершенно не нужна. Имейте в виду, что в оценках Чебышёва $a<1$, а $b>1$.

[Whitaker]

nnosipov
Да там действительно грубовато я как-то оценил. То, что существуют такие константы это мне известно. В Чандрасекхаране доказывается только существование таких констант, а то, что $a<1<b$ этого там вроде нет. А где про это можно вообще прочитать?

Sonic86
Воспользуюсь Вашей подсказкой. $n>a\frac{p_n}{\ln p_n}>p_n^{1-\varepsilon},$ где $\varepsilon$ - произвольное положительное. Отсюда имеем: $p_n<n^{1/{(1-\varepsilon)}}$
Тогда: $p_n<\dfrac{n\ln p_n}{a}<\dfrac{n\ln n}{a(1-\varepsilon)}<\frac{3}{2}n\ln n,$ если взять $\varepsilon>1-\frac{2}{3a}$ и $(\varepsilon>0)$
Верно?

[nnosipov]

Whitaker в сообщении #649960 писал(а):

А где про это можно вообще прочитать?

Выше я ссылку давал. Там доказательство с конкретными константами $a$ и $b$.

[Sonic86]

Whitaker в сообщении #649960 писал(а):

Тогда: $p_n<\dfrac{n\ln p_n}{a}<\dfrac{n\ln n}{a(1-\varepsilon)}<\frac{3}{2}n\ln n,$ если взять $\varepsilon>1-\dfrac{2}{3a}$

Доказать получается, если при это эпсилон остается больше нуля. Это я просто техническую деталь отметил: не надо огрублять, там и так оценки трудно делаются.

Whitaker в сообщении #649960 писал(а):

В Чандрасекхаране доказывается только существование таких констант, а то, что $a<1<b$ этого там вроде нет. А где про это можно вообще прочитать?

В Бухштабе есть явное вычисление констант при рассмотрении $T(n)-2T\left(\frac{n}{2}\right)$ (там снизу $\frac{\ln 2}{2}$, а сверху явно не вычислено). И там же приводятся оценки

lek в сообщении #649893 писал(а):

$a=0,921$ и $b=1,106$

если рассматривать форму $T(n)-T\left(\frac{n}{2}\right)-T\left(\frac{n}{3}\right)-T\left(\frac{n}{5}\right)+T\left(\frac{n}{30}\right)$. Метод тот же, техника сложнее. Я сам не пробовал.

[Whitaker]

Sonic86
Да согласен с Вами. Я там потом в скобочках еще добавил условие положительности $\varepsilon$. Надо бы посмотреть в Бухштабе все это дело.
Благодарю Вас и nnosipov за помощь в решении задачи и за ценные подсказки!