2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разбиение числа на слагаемые
Сообщение25.11.2012, 23:12 


27/02/09
2842
Существует ли общее выражение для числа неориентированных наборов слагаемых на которое можно разбить произвольное натуральное число $M$ и каковы доли различных слагаемых меньших $M$ во всех таких наборах. Поясню, пусть $M=5$, тогда $5=$

$5$
$1+4=2+3$ (наборы неориентированные, так что имеем всего два варианта разбиения на 2 части)
$1+1+3=2+2+1$
$1+1+1+2$
$1+1+1+1+1$
Число различных разбиений равно $1+2+2+1+1=7$, обозначим $P(m)$ число различных слагаемых m от 1 до M:
$P(1)=12$
$P(2)=4$
$P(3)=2$
$P(4)=1$
$P(5)=1$
Какова будет зависимость $P(m)$ для больших $M$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбиение числа на слагаемые
Сообщение25.11.2012, 23:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
druggist в сообщении #649676 писал(а):
для числа неориентированных наборов слагаемых на которое можно разбить произвольное натуральное число $M$

A000041
А дальше надо смотреть.

-- Пн, 2012-11-26, 00:23 --

Вот, уже нашёл:
A000070
довольно простым образом связанная с предыдущей (которая, однако, сама непроста) - является
Цитата:
...also the number of 1's in all partitions of n
сиречь Ваше $P(1).$
Может, и все остальные где-нибудь найдутся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбиение числа на слагаемые
Сообщение25.11.2012, 23:48 


27/02/09
2842
Я не совсем понял, тут последовательность n начинается с нуля, т.е., $a(0)=1, a(1)=1, a(3)=2$ и т.д.?
Цитата:
a(n) = number of partitions of n (the partition numbers).
Цитата:
1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101,

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбиение числа на слагаемые
Сообщение26.11.2012, 00:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
$a(3)=3$, а в остальном верно - да, с нуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбиение числа на слагаемые
Сообщение26.11.2012, 08:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Общее выражение для $p(n)$ -- так обозначают число разбиений $n$ -- существует и называется формулой Радемахера. Это абсолютно сходящийся ряд, довольно удобный для вычислений, так как если хвост его будет меньше $\frac12$, дальше можно не суммировать, ведь $p(n)$ -- натуральное. Если интересен главный член асимптотики, то
$$
p(n)\sim\frac{e^{\pi\sqrt{\frac{2n}3}}}{4n\sqrt 3}.
$$
По второму вопросу посмотрите книжку Эндрюса "Теория разбиений" -- там много такого, может и найдется что.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group