Показать, что предел есть дельта функция

[Oleg Zubelevich]

Похоже тут сильный прогресс в математике намечается. Крупно мыслящий студент на такую чепуху как краевые условия, при решении параболического уравнения вообще не смотрит Не говоря о некоторых других нюансах, уже отмеченных выше.

[Nimza]

Oleg Zubelevich, что-то Вы сегодня не в духе :) Конечно они учтены. Я потому и не уточняю какие тут $f_n$ и $a_n$. А они для разный краевых условий разные, конечно.

[Oleg Zubelevich]

А вот надо уточнять, в них то все и дело, тогда будет понятно, как те утверждения, что выше сформулированы доказывать и в каком смысле их понимать

[Nimza]

Смешанные однородные условия справа и слева. Функции получаются жуткие, собственные значения явно тоже не выписываются. Только численно считаются. Тем не менее, я подозреваю, что моя функция $u$ всё равно должна удовлетворить УРАВНЕНИЮ.

[Oleg Zubelevich]

если Вам нужна только теорема существования и единственности, то все эти конструкции вообще наверняка не нужны

[Nimza]

Нет, речь идёт о явном виде решения (уравнения теплопроводности, когда в правой части стоит $h(t)\delta(x-y)$).

[Oleg Zubelevich]

а почему по собственным функциям не разложить, зачем обязательно это делать в форме функции Грина?

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #649324 писал(а):

Крупно мыслящий студент на такую чепуху как краевые условия, при решении параболического уравнения вообще не смотрит

И совершенно правильно делает, что не обращает. Попытайтесь угадать, почему.

Nimza в сообщении #649333 писал(а):

я подозреваю, что моя функция $u$ всё равно должна удовлетворить УРАВНЕНИЮ.

Она безусловно будет удовлетворять, если само уравнение выписано формально верно. Потому, что в Вашем случае все ряды сходятся равномерно, со всеми производными и безумно быстро, так что "любые формальные манипуляции с ними заведомо законны, если только не заведомо неверны" ((с) не помню кто). Но в детали вникать лень. Во всяком случае, с аргументами в тех Ваших выкладках явно какой-то бардак: у Вас ведь обобщённость-то лишь по координате, так с чего вдруг пробная функция зависит от времени?

[Oleg Zubelevich]

ewert
а что пределы в Демидовиче уже закончились?

[Nimza]

А я как делал? Я решал с гладкой правой частью $f(t,x)$, нашёл с помощью разложения по собственным функциям, что решение имеет вид

$$ \int\limits_{0}^{t}\int\limits_{a}^{b}G(x,y,t-\tau)f(t,x)dxd\tau $$

Формально подставил $f(t,x) = h(t)\delta(x-y)$ и решил проверить, что полученная функция удовлетворит уравнению теплопроводности.

ewert в сообщении #649342 писал(а):

у Вас ведь обобщённость-то лишь по координате, так с чего вдруг пробная функция зависит от времени?

Спасибо, да, лишнюю работу делал.

[Oleg Zubelevich]

Я бы получил решение в виде ряда по собственным функциям оператора Лапласа и стал бы доказывать , что этот ряд действительно сходится слабо при каждом фиксированном $t$ к обобщенному решению уравнения. И скорее всего, является слабо дифференцируемой (как минимум) функцией $t$.
Это конечно, если по собственным функциям можно разложить $\delta-$функцию. Одновременно это и будет определением $\delta-$функции для данной задачи.

[Nimza]

Хм, а зачем что-то новое придумывать если тут всего один маленький шажок осталось сделать? Который, при этом, очевиден для ewert .

ewert в сообщении #649342 писал(а):

у Вас ведь обобщённость-то лишь по координате, так с чего вдруг пробная функция зависит от времени?

Ах, всё таки пробная зависит от времени. У нас

$$ u(t,x) = \int\limits_{0}^{t} G(x,y,t-\tau) h(\tau) d\tau $$

Производная по времени в обычном смысле не существует. А вот основной вопрос как раз, будет ли

$$ u_{t}(t,x) = \delta(x-y) h(t) + \int\limits_{0}^{t} G_{t}(x,y,t-\tau)h(\tau) d\tau. $$

Ладно, вопрос интересный. Попробую получить ту же самую формулу через разложение дельта функции в ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} f_n(x) f_n(y)$. Кстати, на стр. 271 Тихонов пишет, что сходимость тут понимается в слабом смысле и разложение верно для любой полной ортонормированной системы на отрезке.

[Oleg Zubelevich]

кстати, еще было бы неплохо всетаки виписать уравнение и дать определение обобщенного решения этого уравнения, которое ищется. Сюда выписывать необязательно, это просто чтоб Вы понимали что делаете

[Nimza]

Уравнение без граничных и начальных условий такое

$$ u_{t}(t,x) - u_{xx}(t,x) = h(t) \delta(x-y), $$

где $t \in (0,T]$, $x \in (a,b)$, $h$ гладкая, $y \in (a,b)$.

Обобщённое решение в обычном смысле, с перекидыванием производных на пробную функцию.

[Oleg Zubelevich]

Nimza в сообщении #649380 писал(а):

Уравнение без граничных и начальных условий такое

Понятно, Вы по-прежнему не понимаете, что граничные условия влияют на определение обобщенного решения и $\delta-$ функции, и $x-y$ может не принадлежать отрезку. Откланиваюсь.

-- Вс ноя 25, 2012 15:13:35 --

Nimza в сообщении #649380 писал(а):

Обобщённое решение в обычном смысле

обычных смыслов несколько