Задача про оператор

[3.14]

Здравствуйте, все участники форума. Необходимо придумать пример копактного оператора с всюду плотным образом. (пространства должны быть бесконечномерными). У меня не получается придумать такого примера. Даже не знаю с чего начать строить..Может взять какое-нибудь сепарабельно пространство и устроить так, чтобы оператор переводил в всюду плотное в нем множество..

[Oleg Zubelevich]

$$A:l^2\to l^2,\quad A\{x_k\}=\{x_k/k\} $$

[3.14]

Спасибо Oleg Zubelevich. Немного хотел прояснить для себя..То что этот оператор компактный я понимаю. Попробую понять, что образ всюду плотен. То есть $\forall$ $ \varepsilon > 0$, $x \in l^2$ $ \exists$ $y \in Al^2$ : $\parallel x - y \parallel_{l^2} < \varepsilon$. Пусть $x = (x_1, x_2, ..., x_n,...) \in l^2$. Тогда соотвествующий $y$ будет таким : $y = (x_1, x_2,...,x_N,0,...0,..)$, где $ N$ : $ \sum\limits_{i = N}^{\infty} (x_i)^2 < \varepsilon$. Я правильно понимаю ?