2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 уравнение...
Сообщение05.05.2007, 23:39 


19/03/07
6
Вот халявное уравнение...
(((4+(4+(4-x)^0.5)^0.5)^0.5=x
Найдите у него "хороший" действительный корень...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2007, 07:18 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Что значит "хороший"?
Очевидно, что имеется один действительный корень между 2 и 3 и он иррациональный, является корнем уравнения 8 -ой степени.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2007, 08:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/11/06
696
мехмат
Условие точно верное? Может, вместо "-" нужен "+", или наоборот, вместо всех "+" нужны "-"?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.05.2007, 08:40 


15/03/07
128
вырезано // нг
Похоже, что условие неверно, т.к. открывается 5 скобок, а закрывается 3.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2007, 12:25 


19/03/07
6
Да верное...
Простите за скобки(первые две скобки лишние)...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2007, 15:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
Такое, что ли?
$\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4-x}}}=x$
Если да, то Руст прав.
Очевидно, что левая часть убывает, а правая возрастает, следовательно действительных корней не более одного. Простейшие оценки показывают, что этот корень действительно лежит между 2 и 3, и после избавления от радикалов получаем, что он удовлетворяет уравнению 8-й степени:
$(x^4-8x^2+12)^2 + x -4=0$
Если бы у него были рациональные корни, то они были бы целыми и являлись бы делителями числа 140. Есть такие или нет, можно даже не проверять, так как нам нужен корень между 2 и 3, следовательно этот корень иррационален.

P.S. Так что Вы считаете хорошим корнем?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2007, 07:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Последнее уравнение можно, конечно, разложить на множители:
$(x^2+x-4) (x^3 -2 x^2 -3x + 5) (x^3 + x^2 - 6x - 7)$, причем «хороший» корень является положительным корнем последнего множителя. Ну и что?! Все равно, кубическая иррациональность, к тому же выражаемая только через комплексные числа.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2007, 10:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Можно еще выразить корень через бесконечную цепочку радикалов:
$x=\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt {4-\sqrt{{4+\sqrt{4+\sqrt {4-…{}}}}}}}}$
Это дает более точную оценку $\sqrt{6}<x<\sqrt{4+\sqrt{6}}$ или $2.449<x<2.540$.
Вообще, если повозиться с этими бесконечными радикалами, например, такого вида
$x=\sqrt{a+(-1)^{k_1}\cdot\sqrt{a+(-1)^{k_2}\cdot\sqrt{a+…}}}$, то
если $(k_1,k_2,k_3,…)=(1,-1,1,-1,…)$, то при $a=n(n+1)+1$ получаем $x=n+1$
если $(k_1,k_2,k_3,…)=(1,1,1,-1,…)$, то при $a=n(n+1)$ получаем $x$ - почти целое, равное $n+1$ (чем больше $n$, тем лучше приближаемся).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2007, 13:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
незваный гость писал(а):
Все равно, кубическая иррациональность, к тому же выражаемая только через комплексные числа.

Ну почему же только через комплексные?
$$\frac{2\sqrt{19}}3\cos\left(\frac13\arccos\frac{7}{2\sqrt{19}}\right)-\frac13.$$
Замечательное действительное число.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2007, 21:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Я не утверждал, что корни комплексные. Я имел ввиду классический результат о неприводимости радикальной формы к вещественному виду.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.05.2007, 21:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/11/06
696
мехмат
Когда-то на Соросовской Олимпиаде предлагалось уравнение вида $\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}}=x$. Это уравнение довольно просто решается. Но в исходном уравнении аналогичная идея не проходит...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.05.2007, 02:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
А чем же оно лучше?!

Ну, получится корень $x^3-3x+1$. Или я чего-то не заметил?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.05.2007, 09:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/11/06
696
мехмат
В этом уравнении можно сделать замену $x=2\cos\varphi$, и тогда получается корень $2\cos\frac{2\pi}{9}$. А вот в исходном уравнении подобная замена не проходит...

 Профиль  
                  
 
 Re: уравнение...
Сообщение26.06.2007, 13:24 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Паляна писал(а):
Вот халявное уравнение...
(((4+(4+(4-x)^0.5)^0.5)^0.5=x
Найдите у него "хороший" действительный корень...

Это я придумал в начале прошлого года. :mrgreen:
Могу дать подсказку, если кто пожелает. :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.06.2007, 13:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
arqady писал(а):
Могу дать подсказку, если кто пожелает.

Давайте.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group