уравнение...

[Паляна]

Вот халявное уравнение...
(((4+(4+(4-x)^0.5)^0.5)^0.5=x
Найдите у него "хороший" действительный корень...

[Руст]

Что значит "хороший"?
Очевидно, что имеется один действительный корень между 2 и 3 и он иррациональный, является корнем уравнения 8 -ой степени.

[Lion]

Условие точно верное? Может, вместо "-" нужен "+", или наоборот, вместо всех "+" нужны "-"?

[Pyphagor]

вырезано // нг
Похоже, что условие неверно, т.к. открывается 5 скобок, а закрывается 3.

[Паляна]

Да верное...
Простите за скобки(первые две скобки лишние)...

[bot]

Такое, что ли?
$\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4-x}}}=x$
Если да, то Руст прав.
Очевидно, что левая часть убывает, а правая возрастает, следовательно действительных корней не более одного. Простейшие оценки показывают, что этот корень действительно лежит между 2 и 3, и после избавления от радикалов получаем, что он удовлетворяет уравнению 8-й степени:
$(x^4-8x^2+12)^2 + x -4=0$
Если бы у него были рациональные корни, то они были бы целыми и являлись бы делителями числа 140. Есть такие или нет, можно даже не проверять, так как нам нужен корень между 2 и 3, следовательно этот корень иррационален.

P.S. Так что Вы считаете хорошим корнем?

[незваный гость]

Последнее уравнение можно, конечно, разложить на множители:
$(x^2+x-4) (x^3 -2 x^2 -3x + 5) (x^3 + x^2 - 6x - 7)$, причем «хороший» корень является положительным корнем последнего множителя. Ну и что?! Все равно, кубическая иррациональность, к тому же выражаемая только через комплексные числа.

[juna]

Можно еще выразить корень через бесконечную цепочку радикалов:
$x=\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt {4-\sqrt{{4+\sqrt{4+\sqrt {4-…{}}}}}}}}$
Это дает более точную оценку $\sqrt{6}<x<\sqrt{4+\sqrt{6}}$ или $2.449<x<2.540$.
Вообще, если повозиться с этими бесконечными радикалами, например, такого вида
$x=\sqrt{a+(-1)^{k_1}\cdot\sqrt{a+(-1)^{k_2}\cdot\sqrt{a+…}}}$, то
если $(k_1,k_2,k_3,…)=(1,-1,1,-1,…)$, то при $a=n(n+1)+1$ получаем $x=n+1$
если $(k_1,k_2,k_3,…)=(1,1,1,-1,…)$, то при $a=n(n+1)$ получаем $x$ - почти целое, равное $n+1$ (чем больше $n$, тем лучше приближаемся).

[RIP]

незваный гость писал(а):

Все равно, кубическая иррациональность, к тому же выражаемая только через комплексные числа.

Ну почему же только через комплексные?

$$\frac{2\sqrt{19}}3\cos\left(\frac13\arccos\frac{7}{2\sqrt{19}}\right)-\frac13.$$

Замечательное действительное число.

[незваный гость]

Я не утверждал, что корни комплексные. Я имел ввиду классический результат о неприводимости радикальной формы к вещественному виду.

[Lion]

Когда-то на Соросовской Олимпиаде предлагалось уравнение вида $\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}}=x$. Это уравнение довольно просто решается. Но в исходном уравнении аналогичная идея не проходит...

[незваный гость]

А чем же оно лучше?!

Ну, получится корень $x^3-3x+1$. Или я чего-то не заметил?

[Lion]

В этом уравнении можно сделать замену $x=2\cos\varphi$, и тогда получается корень $2\cos\frac{2\pi}{9}$. А вот в исходном уравнении подобная замена не проходит...

[arqady]

Паляна писал(а):

Вот халявное уравнение...
(((4+(4+(4-x)^0.5)^0.5)^0.5=x
Найдите у него "хороший" действительный корень...

Это я придумал в начале прошлого года.
Могу дать подсказку, если кто пожелает.

[RIP]

arqady писал(а):

Могу дать подсказку, если кто пожелает.

Давайте.