Помогите решить логарифмическое уравнение.

[larkova_alina]

Помогите решить уравнение.
$\sqrt{\log_2 (x^2+1)}=4\log_2 x.$
ОДЗ: $x\in(0; +\infty).$

[Cash]

Есть подозрение, что в задании ошибка...
В том виде, что вы привели - только численно...

-- Пт ноя 23, 2012 18:13:04 --

Хотя... нужно подумать.

[Keter]

Подобного типа уравнения решаются таким образом: возводите в квадрат и используете следующую теорию

Если функции $f(x)$ и $g(x)$ убывают(возрастают) на области определения $D$, то функция $\dfrac{f(x)}{g(x)}, \quad g(x) \ne 0$ также убывает(возрастает) на этой области определения.

Затем, пользуетесь тем, что

Если функция $\varphi (x)$ возрастает(убывает) на области определения, то уравнение $\varphi (x)=a$ имеет единственное решение или не имеет их вообще.

Далее подобрать единственное решение не сложно.

А так как, судя по всему, задание Вы сами придумали, тут будет сложновато заметить ответ.

[larkova_alina]

Cash, скажите, а вот это уравнение
$\sqrt{\log_2(8x^2+8)}=\log_{\sqrt{2}}(x^2+x)$ можно решить аналитически? Или в нем ошибка, а имелось ввиду уравнение $\sqrt{\log_2(8x^2+8x)}=\log_{\sqrt{2}}(x^2+x)$?
Решать не надо, мне нужно знать только можно ли решить аналитические первое уравнение?

larkova_alina, предупреждение за дублирование вопроса из закрытой темы Логарифмическое уравнение о текущем конкурсе! Тема закрыта.

[Keter]

larkova_alina, конечно. Ответ будет $1$. Вам остаётся доказать единственность решения, используя то, что я написал выше.

[TOTAL]

Keter в сообщении #648569 писал(а):

Подобного типа уравнения решаются таким образом: возводите в квадрат и используете следующую теорию

Если функции $f(x)$ и $g(x)$ убывают(возрастают) на области определения $D$, то функция $\dfrac{f(x)}{g(x)}, \quad g(x) \ne 0$ также убывает(возрастает) на этой области определения.

Функция $\dfrac{x+\sin(x)}{x}$ возрастает?