Для каждого простого p решить уравнение в ЦНЧ

[Ktina]

Для каждого простого $p$ решить уравнение

$$(p^2+4)^x+(p^2+10)^y=(p^2+11)^z$$

в целых неотрицательных числах $x, y, z$

[nnosipov]

Опять модули какие-нибудь. Неужто решается?

[Ktina]

nnosipov в сообщении #648166 писал(а):

Опять модули какие-нибудь. Неужто решается?

И не просто решается, а легче, чем кажется на первый взгляд.

[Cash]

$p>3$
Смотрим по модулю $4$: $y$ - нечетно.
Далее смотрим по модулю $3$: $x$ - четно.
Тогда по модулю $8$ левая часть сравнима с $4$, и равенство возможно только при $z=1$
(0, 1, 1) - решение для любого $p$
Остается уравнение
$13^x+19^y=20^z$

[maxal]

Cash в сообщении #648192 писал(а):

Остается уравнение
$13^x+19^y=20^z$

По модулю 400 его решением является только (0,1,1).

[Shadow]

maxal в сообщении #648198 писал(а):

По модулю 400

Пусть будет 40.

[Ktina]

Shadow в сообщении #648224 писал(а):

maxal в сообщении #648198 писал(а):

По модулю 400

Пусть будет 40.

Большой модуль очень. Всё гораздо проще.

[Shadow]

Ktina в сообщении #648238 писал(а):

Большой модуль очень

Но он получается рассмотрением отдельно по модулю 5 и 8. Так же, как объяснил Cash. И он мог сказать "по модулю 24..." (тоже большой). А ваше решение какое?

[Ktina]

Shadow в сообщении #648244 писал(а):

Ktina в сообщении #648238 писал(а):

Большой модуль очень

Но он получается рассмотрением отдельно по модулю 5 и 8. Так же, как объяснил Cash. И он мог сказать "по модулю 24..." (тоже большой). А ваше решение какое?

Вот моё:

а) Если $p>3$, то почти так же, как сказал Cash :
Смотрим по модулю 8. Если $z>1$, то правая часть делится на 8. Тогда $x$ и $y$ должны быть чётными. Но тогда по модулю 3 не получается.
б) Если $p=3$ и $z>1$, смотрим по модулю 10. Тогда х чётно, но тогда не прокатывает по модулю 8. Единственное решение (0, 1, 1).

в) Если $p=2$ - сводится к уравнениям $1+14^y=15^z$ и $8^x+1=15^z$
Первое не прокатывает по модулю 27 (единчтвенное решение (0 1 1))
Второе не прокатывает по модулям 10 и 3.

Простите, что написала неразьорчиво, торопилась. Если что-то непонятно, спрашивайте.

До вторника времени ещё туча.

[Ktina]

А покамест я нашла у себя одну ошибку (возможно, она не единственная, проверьте, пожалуйста, до вторника).
$1+14^y=15^z$ по модулю 27 оказывается я неверно сосчитала.
Лучше по модулям 25 и 11.
При $z>1$ имеем $25|15^z$, но тогда $5|y$, но тогда $14^y=1 \mod 11$, но тогда $15^z=2\mod 11$, что невозможно!

[Shadow]

Правильно.

Ktina в сообщении #648448 писал(а):

Лучше по модулям 25 и 11.

Тоесть, по модулю 275
И вообще насчет уравнения $x^a-y^b=1$ есть теорема (бывшая гипотеза Каталана), правда, не знаю можно ли на нее ссылатся на олимпиадах (или вступительных экзаменов), поэтому, на всякий случай, лучше не ссылатся. Можно, например, (если нет рядом компютера) по модулю 4, а потом разность квадратов.

Ktina в сообщении #648249 писал(а):

До вторника времени ещё туча.

Ktina в сообщении #648448 писал(а):

проверьте, пожалуйста, до вторника

А что случится во вторник? (Неужели конец света Говорили что в конце декабря)

[Ktina]

Shadow в сообщении #648466 писал(а):

А что случится во вторник? (Неужели конец света Говорили что в конце декабря)

(Оффтоп)

Сперва писала в личку одному хорошему человеку, он просил меня сделать всё до вторника.
Ну а затем, дабы не утруждать себя переписыванием, просто скопипастила.