правильно ли решены задачи на тему "ряды"?

[Sonic86]

TOTAL в сообщении #647614 писал(а):

Какое нам дело до всех? К нему сколь угодно ближе должен стремиться только общий член.

Да, я неправильно выразился, извините.

[dobryaaasha]

ИСН, вот например предел самой простой последовательности $\frac{1}{n}$ при $n \to \infty$ равен $0$. Это мне очень даже понятно. А вот предел последовательностей $0 1 0 1 0 1 0 1...$ и $\frac {(-1)^n}{3}$ при $n \to \infty$ для меня что-то эфемерное, неосязаемое. Не могу понять

-- 22.11.2012, 07:00 --

TOTAL, так каков общий член последовательности $0 1 0 1 0 1 0 1 0....$? Я как-то не могу сообразить, хоть это наверно и просто.

[TOTAL]

dobryaaasha в сообщении #647954 писал(а):

TOTAL, так каков общий член последовательности $0 1 0 1 0 1 0 1 0....$?

Я не могу ответить, т.к. Вы не объяснили, что понимаете под "общим членом последовательности".

Поскольку без понятия "предел" здесь не обойтись, напишите, что называется пределом последовательности и про какую последовательность говорят, что она имеет предел.

[dobryaaasha]

TOTAL, вот у последовательности $1, 1/2, 1/3, 1/4....$ общий член $\frac{1}{n}$.

А про предел я уже писала. $a$ есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к $a$ при возрастании $n$.

[TOTAL]

dobryaaasha в сообщении #647958 писал(а):

TOTAL, вот у последовательности $1, 1/2, 1/3, 1/4....$ общий член $\frac{1}{n}$.

Что такое "общий член", не понял, объясните кому-нибудь дрогому, может быть, поймет.

[dobryaaasha]

TOTAL, формула, по которой находится каждый член последовательности, называется общим членом последовательности. Так понятней?

[TOTAL]

dobryaaasha в сообщении #647963 писал(а):

TOTAL, формула, по которой находится каждый член последовательности, называется общим членом последовательности. Так понятней?

Так понятней. Теперь вот это объясните

Цитата:

$a$ есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к $a$ при возрастании $n$.

Что значит "неограниченно приближается"?

(ухожу на несколько часов по делам)

[dobryaaasha]

TOTAL, я не математик-теоретик, поэтому отвечу своими словами и как сама понимаю. Неограниченно приближается, значит разница между значением общего члена $x(n)$ числовой последовательности при $n \to \infty$ и пределом $a$ этой числовой последовательности бесконечно мала (ну или стремится к нулю, или она не больше некоторого бесконечно малого числа $\varepsilon$).

[muzeum]

Если Вы не собираетесь быть математиком, то строгий формализм Вам не очень нужен. Про предел пока можно запомнить: если есть несколько претендентов на предел, то предела не существует. Например, в последовательности -1, +1, -1, +1, ...., $(-1)^n$, ... имеется пара различных претендентов: -1 и +1, значит, предела нет, т.к. члены близкие или равные -1 никогда не приблизятся к +1, а члены близкие к +1 не очень стремятся к -1. Сами же "претенденты", в нашем примере это -1 и +1, называются точками сгущения или, что хуже, т.к. вызывает путаницу с ПРЕДЕЛОМ, предельными точками (неприятно, но факт - при такой терминологии предельная точка не обязана быть пределом, но, если предельная точка единственная и последовательность ограничена, то это - предел).

[dobryaaasha]

muzeum, я всего лишь помогаю своему парню решить расчетку по матану
Я так понимаю у рассматриваемого мной ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3}$ предела не существует? Значит ряд расходится? Только как это грамотно оформить в решении задачи..

А вот рассуждение про ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1^n}{3}$ верное? Что он расходится, потому что не выполняется необходимый признак сходимости.

[ИСН]

dobryaaasha в сообщении #647984 писал(а):

у рассматриваемого мной ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3}$ предела не существует?

У рядов вообще нет такого понятия. Мы говорили о последовательности. У неё может быть предел, а может не быть предела. Здесь предела нет. (Как и в моём примере.)
Дальше. Из последовательности можно сделать ряд. У рядов есть необходимый признак сходимости. В чём он состоит, знаете?

[dobryaaasha]

Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится, иначе сходится.

[ИСН]

Я возьму ряд $\sum\limits_1^\infty{1\over n}$. Его общий член стремится к нулю или нет? Он сходится или нет?

[Joker_vD]

(Оффтоп)

"Ну валит, ну валит!"

[dobryaaasha]

ИСН, общий член ряда стремится к нулю при $n \to \infty$. Но несмотря на это ряд расходится. Т.к. выполняется необходимый признак сходимости, но не достаточный.