Представить в алгебраической и тригонометрической формах

[Аннетка]

Пожалуйста, посоветуйте. Необходимо представить в алгебраической и тригонометрической формах комплексное число $z=\frac{4}{\sqrt{3-i}}$ и найти все корни уравнения $w^3+z=0$.

Что попыталась сделать:$\sqrt{\frac{16}{3-i}}\sqrt\frac{3+i}{3+i}=\frac{4\sqrt{3+i}}{\sqrt{10}}=\sqrt{\frac{48}{10}+\frac{16}{10}i}$

А как определить отсюда вещественную и мнимую части? Ведь все находится под знаком радикала. Без этого не могу найти модуль r, чтобы потом представить число в тригонометрической форме.
Может быть, найти эти части для $z^2$, а для $z$ взять значения $\sqrt{\frac{48}{10}}$ и $\sqrt{\frac{16}{10}}$ ? Это будет верным (тогда на каком основании)?

Буду благодарна советам.

[gris]

Выражение $\dfrac{4}{\sqrt{3-i}}$ не есть число. Поэтому рискну предположить, что в условии $z=\dfrac{4}{\sqrt{3}-i}$
Ваши действия по домножнию ЧиЗ на сопряжённое верны.

[Аннетка]

Т. е. в задании опечатка? Тогда вопросов нет. Спасибо.

[ИСН]

gris в сообщении #647402 писал(а):

Выражение $\dfrac{4}{\sqrt{3-i}}$ не есть число.

А что же это?
Правда, оно уродливое, поэтому скорее всего не имеет права жить. Так что да, опечатка.

[Аннетка]

Спасибо.

[gris]

ИСН
Я несколько неуклюже выразился м поторопился. А имел в виду то, что арифметическое выражение вправе называться числом, когда оно имеет ровно одно численное значение. В действительных числах арифметический корень из положительного числа определён однозначно и $\sqrt {3}-i$ это, конечно, число. Оно может быть записано в разных формах, но в конце-концов его геометрическое представление — точка.

Функция $\sqrt[n] z $ на множестве комлексных чисел тоже иногда вначале определяется однозначно, через аргумент $\arg z$, лежащий в определённом интервале. Потом говорится о многозначности корня, что и навело меня на мысль, что тот же $\sqrt 3$, понимаемый как функция от комплексной тройки, уже не может считаться числом, так как у выражения два числовых значения и, соответственно, две точки на плоскости.

Но это, конечно, мудрствование. На самом деле в учебных задачах особенно на формулу М-Л обычно предлагают удобные значения с аргументом $\dfrac {\pi}6$, а не $\arcsin \dfrac {\sqrt{39}}{17}$, которое, впрочем, тоже имеет право на существование.