правильно ли решены задачи на тему "ряды"?

[dobryaaasha]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Я сейчас решаю задачи на нахождение области сходимости степенного ряда. Возникли некоторые затруднения.

Исходный ряд: $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {(-1)^n x^n}{3^{n+1}}$

Интервал сходимости находим с помощью признака Даламбера:

$\lim\limits_{n\to\infty} |\frac {x^{n+1} 3^{n+1}}{3^{n+2} x^n}|=|x/3|<1$

$-3<x<3$

Исследуем ряд на сходимость на концах интервала:

$x=-3$

$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {(-1)^n (-3)^n}{3^{n+1}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {(-1)^n (-1)^n 3^n}{3^{n+1}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {(-1)^{2 n}}{3}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {1^n}{3}$

$x=3$

$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {(-1)^n 3^n}{3^{n+1}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {(-1)^n}{3}$

Получившиеся ряды мне не очень понятны. Они сходится или расходится? И как это проверить. А может, я уже успела наделать ошибок? Помогите пожалуйста.

Заранее спасибо.

-- 21.11.2012, 06:56 --

Я думаю, что ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {1^n}{3}$ расходится. А $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {(-1)^n}{3}$ сходится. Но ясности нет.

[Sonic86]

dobryaaasha в сообщении #647354 писал(а):

Получившиеся ряды мне не очень понятны. Они сходится или расходится? И как это проверить. А может, я уже успела наделать ошибок? Помогите пожалуйста.

Ошибок я не вижу. Проверяйте сходимость в лоб по определению, либо по необходимому признаку сходимости.

[dobryaaasha]

Вот ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {1^n}{3}$ расходится, потому что не выполняется необходимый признак сходимости ($\lim\limits_{n\to\infty} \frac {1^n}{3} \not = 0$).

[TOTAL]

dobryaaasha в сообщении #647354 писал(а):

Я думаю, что ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {1^n}{3}$ расходится. А $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {(-1)^n}{3}$ сходится. Но ясности нет.

Выпишите по 15 первых слагаемых каждого ряда. Суммы к чему-нибудь начинают стремиться?

[dobryaaasha]

TOTAL, первый ряд расходится (я выше написала).

А вот второй..там получается $1/3-1/3+1/3-1/3+1/3-1/3$ и т.д.
Непонятно, в итоге получится $1/3$ или $0$.

-- 21.11.2012, 07:19 --

Здесь, наверно, по признаку Лейбница ряд расходится, т.к. его члены не убывают по модулю. Так будет правильно?

-- 21.11.2012, 07:27 --

Т.о. область сходимости ряда $-3<x<3$

[Sonic86]

dobryaaasha в сообщении #647361 писал(а):

Здесь, наверно, по признаку Лейбница ряд расходится, т.к. его члены не убывают по модулю. Так будет правильно

Нет, признак Лейбница - это не критерий, его обращать нельзя.

dobryaaasha в сообщении #647361 писал(а):

А вот второй..там получается 1/3-1/3+1/3-1/3+1/3-1/3 и т.д.
Непонятно, в итоге получится 1/3 или 0.

Строго можно сделать так: если $\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=0$, то и любая подпоследовательность $\lim\limits_{k\to +\infty}a_{n_k}=0$, теперь возьмите $n=2k$.
P.S. Формулы оформляйте ТеХом. $2$ знака доллара поставить было совсем несложно.

[TOTAL]

dobryaaasha в сообщении #647361 писал(а):

А вот второй..там получается 1/3-1/3+1/3-1/3+1/3-1/3 и т.д.
Непонятно, в итоге получится 1/3 или 0.


Здесь, наверно, по признаку Лейбница ряд расходится, т.к. его члены не убывают по модулю. Так будет правильно?

Зачем нам Лейбниц? Расскажите, какой ряд считается сходящимся (определение сходящегося ряда).

[ИСН]

Про необходимый признак сходимости слышали когда-нибудь?

[dobryaaasha]

Sonic86, пожалуйста. Исправила.

TOTAL, ряд называется сходящимся если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел.

ИСН, чтобы воспользоваться необходимым признаком сходимости, можно опустить знакочередующийся член и получится, что предел не равен нулю, а следовательно признак не выполняется и ряд расходится. Так?

[ИСН]

А если не опускать знакочередующийся член (что бы это ни значило), то чему тогда равен предел? Нулю, что ли?

[dobryaaasha]

ИСН, если не опускать, то я не понимаю, чему равен предел от $(-1)^n$ при $n \to \infty$

[Sonic86]

dobryaaasha в сообщении #647379 писал(а):

ИСН, если не опускать, то я не понимаю, чему равен предел от $(-1)^n$ при $n \to \infty$

Давайте вспомним определение предела: предел последовательности - это такое число, от которого значения все члены последовательности, начиная с некоторого отличаются все меньше и меньше. Можете ли Вы указать такое число?
Также полезно знать определение предела функции по Гейне.

[ИСН]

У всех ли последовательностей есть предел?

[dobryaaasha]

Всё, я окончательно запуталась(

[ИСН]

У всех ли. Последовательностей. Есть. Предел. А?