Якобиан и взаимно однозначное отображение

[shtutser]

Здравствуйте! У меня вопрос. В одной книге (если нужно, укажу где) предлагается рассмотреть взаимно однозначное отображение двух трехмерных пространств (это естественно переход от ортогональных к криволинейным координатам и обратно). Притом говориться, что отображение $r_i=r_i(q_1,q_2,q_3), i=1,2,3$ будет взаимно однозначным, если якобиан отображения не равен нулю в соответствующий области $\partial(x_1,x_2,x_3)/\partial(q_1,q_2,q_3)\not=$0. Это правда? Где можно точно и навсегда разобраться в этом вопросе?

[Oleg Zubelevich]

shtutser в сообщении #646911 писал(а):

Притом говориться, что отображение $r_i=r_i(q_1,q_2,q_3), i=1,2,3$ будет взаимно однозначным, если якобиан отображения не равен нулю в соответствующий области $\partial(x_1,x_2,x_3)/\partial(q_1,q_2,q_3)\not=$0. Это правда?

нет

[fancier]

shtutser в сообщении #646911 писал(а):

отображение $r_i=r_i(q_1,q_2,q_3), i=1,2,3$ будет взаимно однозначным, если якобиан отображения не равен нулю в соответствующий области $\partial(x_1,x_2,x_3)/\partial(q_1,q_2,q_3)\not=$0. Это правда?

По-видимому здесь речь идет о теореме об обратной функции. Как правило, она выводится из теоремы о неявной функции. Их точную формулировку и доказательство можно найти в подробных курсах анализа, например см. В.А. Зорич "Математический анализ" том 1.

[Oleg Zubelevich]

думаю, ТС имел в виду глобальное утверждение

[fancier]

Oleg Zubelevich в сообщении #646925 писал(а):

думаю, ТС имел в виду глобальное утверждение

Аа, ну тогда неверно конечно: $f(x,y)=(e^x cosy,e^x siny)$ из $\mathbb{R}^2$ в себя контрпример (так как $f(x,\, y+2\pi)=f(x,y)$).

[DLL]

Этот вопрос обсуждался здесь: topic63355.html