производная производная

[arseniiv]

(Оффтоп)

А вдруг не вполне, а просто повезло? Лучше накопим статистику…

[alcoholist]

(Оффтоп)

смотрю на топик и слезы

Aden в сообщении #645777 писал(а):

Помогите при вычислить вторую производную $\[y = x^3 + e^{xy}\]$
$\[ \begin{gathered} y' = 3x^2 + e^{xy} \cdot \left( {y' \cdot x + x' \cdot y} \right) = 3x^2 + e^{xy} \cdot y' \cdot x \hfill \\ y' - y' \cdot e^{xy} \cdot x = 3x^2 \hfill \\ y' = \frac{{3x^2 }} {{1 - e^{xy} \cdot x}} \hfill \\ y'' = \frac{{{\mathbf 6}{\mathbf x} \cdot (1 - e^{xy} \cdot x) - {\mathbf 3}{\mathbf x^2}\cdot \left( {1 - e^{xy} \cdot x} \right)'}} {{(1 - e^{xy} \cdot x)^2 }} \hfill \\ \end{gathered} \] $
Где то допустил ошибку ?

дальше вычисляете производную в правой части и подставляете $y'$

[Aden]

$\[ \begin{gathered} y' = \frac{{3x^2 }} {{1 - e^{xy} \cdot x}} \hfill \\ y'' = \frac{{6x \cdot \left( {1 - e^{xy} \cdot x} \right) - 3x^2 \cdot \left( {1 - e^{xy} \cdot x} \right)'}} {{\left( {1 - e^{xy} \cdot x} \right)^2 }} = \hfill \\ = \frac{{6x \cdot \left( {1 - e^{xy} \cdot x} \right) - 3x^2 \cdot y' \cdot e^{xy} }} {{\left( {1 - e^{xy} \cdot x} \right)^2 }} = \frac{{6x \cdot \left( {1 - e^{xy} \cdot x} \right) + \frac{{3x^2 \cdot 3x^2 \cdot e^{xy} }} {{1 - e^{xy} \cdot x}}}} {{\left( {1 - e^{xy} \cdot x} \right)^2 }} = \hfill \\ = \frac{{6x \cdot \left( {1 - e^{xy} \cdot x} \right)^2 + 9x^4 \cdot e^{xy} }} {{\left( {1 - e^{xy} \cdot x} \right)^3 }} = \frac{{6x}} {{1 - e^{xy} \cdot x}} + \frac{{9x^4 \cdot e^{xy} }} {{\left( {1 - e^{xy} \cdot x} \right)^3 }}; \hfill \\ \end{gathered} \]$

[alcoholist]

Aden
все верно, кроме первого вычисления))) Каюсь, просмотрел, я не то место процитировал, вот какое надо было:

Aden в сообщении #645781 писал(а):

$ \[ \begin{gathered} y' = 3x^2 + e^{xy} \cdot \left( {y' \cdot x + x' \cdot y} \right) = 3x^2 + e^{xy} \cdot y' \cdot x + y \cdot e^{xy} \hfill \\ y' = \frac{{y \cdot e^{xy} + 3x^2 }} {{1 - x \cdot e^{xy} }} \hfill \\ \end{gathered} \] $
Получается так ?

[Aden]

$\[ y'' = \frac{{(y \cdot e^{xy} + 3x^2 )' \cdot \left( {1 - x \cdot e^{xy} } \right) - \left( {1 - x \cdot e^{xy} } \right)' \cdot \left( {y \cdot e^{xy} + 3x^2 } \right)}} {{\left( {1 - x \cdot e^{xy} } \right)^2 }}; \]$
А вот как быть с числителем
$\[{(y \cdot e^{xy} + 3x^2 )'}\]$ ?

[Алексей К.]

$(y \cdot e^{xy} + 3x^2 )'=(y \cdot e^{xy})' + (3x^2 )'=y' \cdot e^{xy} + y \cdot (e^{xy})' + 6x=y' \cdot e^{xy} + y e^{xy}\cdot(xy)' + 6x=\ldots$

[Aden]

$\[\begin{gathered} \left( {y \cdot e^{xy} + 3x^2 } \right)' = \left( {y \cdot e^{xy} } \right)' + (3x^2 )' = y' \cdot e^{xy} + y \cdot \left( {e^{xy} } \right)' + 6x = \hfill \\ = y' \cdot e^{xy} + y \cdot e^{xy} \cdot \left( {xy} \right)' + 6x = y' \cdot e^{xy} + y \cdot e^{xy} \cdot \left( {x' \cdot y + y' \cdot x} \right) = \hfill \\ = y' \cdot e^{xy} + y \cdot e^{xy} \cdot \left( {y + y' \cdot x} \right); \hfill \\ \end{gathered} \]$


$\[\begin{gathered} \left( {1 - x \cdot e^{xy} } \right)' = - \left( {x' \cdot e^{xy} + \left( {e^{xy} } \right)' \cdot x} \right) = - \left( {e^{xy} + e^{xy} \cdot \left( {x' \cdot y + y' \cdot x} \right) \cdot x} \right) = \hfill \\ = - e^{xy} + e^{xy} \cdot \left( {y + y' \cdot x} \right) \cdot x; \hfill \\ \end{gathered} \]$

Получается так ?

[ИСН]

Если не хотите избавляться от экспонент, то можете оставить всё так. Но имейте в виду, что сложность выражений может переполнить оперативную память, и тогда ошибки неизбежны.
(В первом пропало 6x, во втором минус.)

[Aden]

$\[\begin{gathered} e^{xy} = y - x^3 \hfill \\ \left( {y \cdot e^{xy} + 3x^2 } \right)' = \left( {y \cdot \left( {y - x^3 } \right) + 3x^2 } \right)' = \left( {y^2 - y \cdot x^3 + 3x^2 } \right)' = 2y - y' \cdot x^3 - 3x^2 \cdot y + 6x; \hfill \\ \left( {1 - x \cdot e^{xy} } \right)' = \left( {1 - x \cdot \left( {y - x^3 } \right)} \right)' = \left( {1 - x \cdot y + x^4 } \right)' = - \left( {x' \cdot y + y' \cdot x} \right) + 4x^3 = - y - xy' + 4x^3 ; \hfill \\ \end{gathered} \]$
А если так ...

[ИСН]

Какой смысл это делать сейчас, на последнем шаге? От них надо было избавляться, как только они появились в y'.

[Aden]

что-то получаются многоэтажки
$\[\begin{gathered} y' = \frac{{y \cdot e^{xy} + 3x^2 }} {{1 - x \cdot e^{xy} }} = \frac{{y \cdot \left( {y - x^3 } \right) - 3x^2 }} {{1 - x \cdot \left( {y - x^3 } \right)}} = \frac{{y^2 - y \cdot x^3 - 3x^2 }} {{1 - xy + x^4 }}; \hfill \\ y'' = \frac{{\left( {y^2 - y \cdot x^3 - 3x^2 } \right)' \cdot \left( {1 - xy + x^4 } \right) - \left( {1 - xy + x^4 } \right)' \cdot \left( {y^2 - y \cdot x^3 - 3x^2 } \right)}} {{\left( {1 - xy + x^4 } \right)^2 }} = \hfill \\ = \frac{{\left( {2y - y' \cdot x^3 - 3x^2 \cdot y - 6x} \right) \cdot \left( {1 - xy + x^4 } \right) - ( - x' \cdot y - y' \cdot x + 4x^3 ) \cdot \left( {y^2 - y \cdot x^3 - 3x^2 } \right)}} {{\left( {1 - xy + x^4 } \right)^2 }} \hfill \\ \end{gathered} \]$

[ИСН]

Ну да, а что делать. Вот такое хреновое лето. Вы же не будете утверждать, что с экспонентами было проще?

-- Чт, 2012-11-22, 01:13 --

Производная от $y^2$ у Вас чему ВНЕЗАПНО равна?