Черные дыры существуют!

[agdam]

Привет всем!
Только-только высунулся 18.11.2012, 21:58 в теме «Черные дыры не существуют?», а ее сразу и прикрыли!?
Действительно, диспут, за которым я одним глазом следил, похоже, залетел в окончательный коллапс. Никто не хотел думать над проблемой и работать руками. Правду говорят: «если чего-то хочешь сделать, надо делать самому»! а не надеяться (как ник aku) что-то толковое выбить из других ников. Ну, не хотели они никак отвечать на прямые вопросы!

1. По одному вопросу ника aku «откуда цифра порядка $10^{-5}$?)» к нику someone ответ такой: она кочует по книжонкам и умам без всяких ссылок и комментариев из ЛЛ. т2. 1988, стр.401. (разве никто не читал?).

2. По другому вопросу «когда и на каком расстоянии от ЧД эффекты ОТО становятся существенными?» того же ника к тому же нику - все тоже просто. Разве никто не знает, что в центрально-симметричном поле преобразования временных и пространственных масштабов в радиальном направлении описываются с использованием коэффициента:

(ф-ла Ag.1)

$$k_g=\sqrt{1-\frac{r_g}{r}}$$

Отсюда, полагаю, каждый в силах нарисовать для себя график зависимости (можно в лог-масштабе):

$$k_g=f(r_g/r),$$

тогда все ники могут попробовать придти к консенсу, какая именно точка на этом графике означает «на каком расстоянии от ЧД эффекты ОТО становятся существенными?»

3. По третьему вопросу «что значит "практически не отличимым от чёрной дыры"?» того же ника к тому же нику - немного посложнее.
Кое-кому, вероятно, известна формула, определяющая извне наблюдаемую скорость коллапса (условной поверхности звезды) в Ц-С поле:

(ф-ла Ag.2)

$$\frac{dr}{dt}=(1-\frac{r_g}{r})\sqrt{1-\frac{1-\frac{r_g}{r}}{1-\frac{r_g}{r_0}}}$$

где: r0 – начальный радиус коллапсирующей звезды, остальные обозначения, полагаю, известны?
По этой формуле любой с начальным опытом ваяния кодов может произвести необходимые расчеты и построить много интересных графиков динамики коллапса, которые можно очень долго обсуждать. Возьмем, к примеру, для начала: масса в 3 солнечных, начальный радиус 1000000 км, гравитационный радиус 10 км. Какова будет зависимость времени коллапса tc от высоты H=r-rg? Примерно так:
H=1 mm, tc=около получаса, причем и по координатному и по собственному времени
H=1 mkm, tc=около месяца
H=1 nm, tc=несколько лет
Ну а последний нанометр коллапс, действительно, преодолевает за целую вечность для вас!
Вот отсюда можно и продолжать долго дискурсировать в цирке Славы, в какой же именно точке коллапс становится "практически не отличимым от чёрной дыры»!?

Пост-размышления

1. Есть физики-теоретики. Это особые люди. Они открывают важные формулы, потом определяют их свойства и в общем виде формулируют выводы, например «интеграл расходится»! (см. ЛЛ, стр 401, а почему они формулу Ag.2 не приводят? – наверно, слишком прозаична для высокой теории?). И после этого их уже нисколько не волнуют чисто практические вопросы: как он расходится, когда именно он расходится и т.п. – кому интересно, тот вычислит (а кто не может - пошли в баню!) А за ними толпами бегут популисты, которые в своих книжонках радостно восклицают «интеграл расходится»!

2. Публикацию расчетов и выводов по формуле Ag.2 не примут ни за бугром, ни в ЖТФ или УФН и др. (в Квант ее!, в Квант ее!) Рецензенты ответят: это уже давно известные результаты. Действительно, известные, но только нескольким сотням среди 7 миллиардов! А этим, без малого 7 миллиардам никчемные популисты несут туфту!

3. Поэтому и человеческий мир до краев наполнен туфтой тех, кто «пошли в баню!». И они проводят свое время в бесконечных спорах друг с другом и взаимных поливаниях. Не исключено, что все это организует Мировая Закулиса, чтобы массам было чем занять свои личные коллапсы и быстрее дотянуть до их финишей.

Воистину говорили древние: «гуны движутся среди гун»!

Больше говорить нечего. Благо-дарю за внимание и дискурсных успехов!

P.S. Если кто-то отважится реально проинтегрировать формулу (102.5) из ЛЛ, то откроет еще много интересного.

«Сказал себе я – брось писать, но руки сами просятся. Ох, мама моя родная, друзья любимые...»

[parton aka]

(Оффтоп)

agdam в сообщении #646458 писал(а):

Правду говорят: «если чего-то хочешь сделать, надо делать самому»!

Вам сказали не правду. "Нормальная версия правды":
"Если хочешь сделать что-то хорошо - сделай это сам".
То, что "наклонным", у Вас не получилось... . Попробуйте еще. :)

[Munin]

agdam в сообщении #646458 писал(а):

Никто не хотел думать над проблемой и работать руками.

Несправедливый упрёк в адрес тех, кто давно подумали и поработали, и представили результат для невежд типа aku, да вот только те читать не хотят.

-- 19.11.2012 19:00:28 --

agdam в сообщении #646458 писал(а):

H=1 mm, tc=около получаса, причем и по координатному и по собственному времени
H=1 mkm, tc=около месяца
H=1 nm, tc=несколько лет

Вот это хорошо. Было бы совсем хорошо, если бы ещё рядом было указано, какое красное смещение испытает поверхность коллапсирующей звезды на тех же самых H=1 mm, 1 μm, 1 nm.

[Someone]

agdam в сообщении #646458 писал(а):

Никто не хотел думать над проблемой и работать руками.

Над какой проблемой? Точно сформулируйте её. Подумаем.

agdam в сообщении #646458 писал(а):

По одному вопросу ника aku «откуда цифра порядка $10^{-5}$?)» к нику someone ответ такой: она кочует по книжонкам и умам без всяких ссылок и комментариев из ЛЛ. т2. 1988, стр.401. (разве никто не читал?).

Читали. А что, она неправильная? Она ведь элементарно выводится из Вашей формулы Ag.2.

agdam в сообщении #646458 писал(а):

По другому вопросу «когда и на каком расстоянии от ЧД эффекты ОТО становятся существенными?» того же ника к тому же нику - все тоже просто.

Ну, это несколько расплывчатая формулировка, ответ зависит от того, что считать существенным. При коллапсе не слишком массивных звёзд речь идёт о радиусе коллапсирующего ядра порядка десятков километров.

agdam в сообщении #646458 писал(а):

Какова будет зависимость времени коллапса tc от высоты H=r-rg? Примерно так:
H=1 mm, tc=около получаса, причем и по координатному и по собственному времени
H=1 mkm, tc=около месяца
H=1 nm, tc=несколько лет

У Вас там в первой строчке написано: "причем и по координатному и по собственному времени". В следующих строчках надо читать так же?

agdam в сообщении #646458 писал(а):

Есть физики-теоретики. Это особые люди. Они открывают важные формулы, потом определяют их свойства и в общем виде формулируют выводы, например «интеграл расходится»! (см. ЛЛ, стр 401, а почему они формулу Ag.2 не приводят? – наверно, слишком прозаична для высокой теории?).

Ну, в ЛЛ 2 формула (102.5) - это проинтегрированная формула Ag.2. Уберите оттуда интеграл и получите Ag.2. В явном виде эта формула выписана, например, в книге И.Д.Новикова и В.П.Фролова "Физика чёрных дыр" под номером (2.3.5) со ссылкой на А.Ф.Богородского (1962).

agdam в сообщении #646458 писал(а):

И после этого их уже нисколько не волнуют чисто практические вопросы: как он расходится, когда именно он расходится и т.п.

Ну почему же? У тех же ЛЛ сразу после формулы (102.5) объясняется, "как" и "когда".

agdam в сообщении #646458 писал(а):

Публикацию расчетов и выводов по формуле Ag.2 не примут ни за бугром, ни в ЖТФ или УФН и др. (в Квант ее!, в Квант ее!) Рецензенты ответят: это уже давно известные результаты. Действительно, известные, но только нескольким сотням среди 7 миллиардов!

Насчёт "нескольких сотен" Вы сильно преуменьшаете. Что касается "7 миллиардов", то они не читают ни ЖТФ (Журнал технической физики), ни ЖЭТФ (Журнал экспериментальной и теоретической физики), ни УФН (Успехи физических наук). Поэтому для них надо публиковать в другом месте.

agdam в сообщении #646458 писал(а):

P.S. Если кто-то отважится реально проинтегрировать формулу (102.5) из ЛЛ, то откроет еще много интересного.

Получится

$$c(t-t_0)=r_g\left(\ln\left(\sqrt{1-\frac{r_g}{r_0}}+\sqrt{\frac{r_g}r-\frac{r_g}{r_0}}\right)^2-\ln\left(1-\frac{r_g}r\right)\right).$$

Расскажите, чего интересного Вы тут накопали.

А вот ещё интересная задача. На поверхности коллапсирующего пылевого шара находится передатчик, который $10^5$ раз в секунду (по собственным часам, естественно) излучает короткий импульс в направлении удалённого наблюдателя. Сколько импульсов получит удалённый наблюдатель? Когда этот наблюдатель получит последний импульс? Когда предпоследний? Данные возьмём из Вашей задачи про звезду с $r_g=10\text{ км}$.

[aku]

agdam в сообщении #646458 писал(а):

Кое-кому, вероятно, известна формула, ... Ag.2)

Скажите, а в каком источнике эта формула приводится в явном виде?

[Someone]

aku в сообщении #646666 писал(а):

Скажите, а в каком источнике эта формула приводится в явном виде?

Someone в сообщении #646629 писал(а):

в книге И.Д.Новикова и В.П.Фролова "Физика чёрных дыр" под номером (2.3.5)

Только замените в ней $\frac E{mc^2}$ на $\sqrt{1-\frac{r_g}{r_0}}$ (это получается из определения $r_0$ как значения радиальной координаты, при которой $\frac{dr}{dt}=0$).

[agdam]

Munin в сообщении #646565 писал(а):

Было бы совсем хорошо, если бы ещё рядом было указано, какое красное смещение испытает поверхность коллапсирующей звезды на тех же самых H=1 mm, 1 μm, 1 nm.

Этим вопросом не интересуюсь. В предыдущем форуме об этом что-то говорили. Я и так уже злоупотребил вниманием публики, открыв новую тему, только лишь бы ответить на вопросы заклеванного aku. Пусть кто-нибудь другой на этом вопросе отличится.

Someone в сообщении #646629 писал(а):

У Вас там в первой строчке написано: "причем и по координатному и по собственному времени". В следующих строчках надо читать так же?

Округленно:
До H=1 мм: для звезды – 28 мин, для нас – 31 мин.
А далее для звезды – миг, для нас – вечность.
Максимум координатной скорости наблюдается при r=3rg (полагаю, что при любых начальных условиях).

Someone в сообщении #646629 писал(а):

Получится

$$c(t-t_0)=r_g\left(\ln\left(\sqrt{1-\frac{r_g}{r_0}}+\sqrt{\frac{r_g}r-\frac{r_g}{r_0}}\right)^2-\ln\left(1-\frac{r_g}r\right)\right).$$

Чувствуется твердая рука специалиста. Ссылка на формулу (102.5) дана чисто в качестве альтернативы для любителей вычислений.

Someone в сообщении #646629 писал(а):

А вот ещё интересная задача.

Безусловно, интересных задач здесь много, как и в случае вышеотвеченного вопроса от munin.

По остальным же цитатам – мною было сказано чисто из психологических соображений: не перегнешь палку – не получишь множественных реакций.

aku в сообщении #646666 писал(а):

Скажите, а в каком источнике эта формула приводится в явном виде?

Ловите еще адресочек:
УФН, 3, 1964, с.410

parton aka в сообщении #646471 писал(а):

(Оффтоп)

Спасибо, учту в другой раз

[Munin]

agdam в сообщении #646872 писал(а):

Этим вопросом не интересуюсь.

Этим всё сказано. Значит, вы пришли только крикнуть в воздух. Вопросы, которые рассматривались, вас не интересуют.

[aku]

Someone в сообщении #646629 писал(а):

Получится

$$c(t-t_0)=r_g\left(\ln\left(\sqrt{1-\frac{r_g}{r_0}}+\sqrt{\frac{r_g}r-\frac{r_g}{r_0}}\right)^2-\ln\left(1-\frac{r_g}r\right)\right).$$

По вашей формуле возникают следующие вопросы:
1. Ее можно посчитать на калькуляторе – получается бред! Например, для нач.условий от agdam, пренебрегая rg/r0, получаем для r=2rg: t-t0=10*(LN(1+SQRT(10/20))^2-LN(1-10/20))/с=32.6 микросекунды!?
2. Как мог сократиться постоянный множитель перед интегралом (102.5)?
3. Подинтеграл (102.5) можно упростить к виду x^(3/2)/(x+a)/(bx+c)^(1/2) и посчитать на он-лайн интеграторах – всегда получается разное, но ничего похожего на вашу формулу!
4. Если все так просто интегрируется, почему же Лан-Лиф не привели простую и окончательную формуль, подобную вашей?

[longstreet]

(Оффтоп)

aku в сообщении #647418 писал(а):

посчитать на он-лайн интеграторах – всегда получается разное, но ничего похожего на вашу формулу

[Someone]

aku в сообщении #647418 писал(а):

По вашей формуле возникают следующие вопросы:

Да посчитайте сами и проверьте. Я мог и наврать. Но у меня получилась асимптотика при $r\to r_g^+$ такая же, как у ЛЛ2 в (102,6).

[Someone]

Да, наврал. Но сейчас некогда пересчитывать.

[agdam]

Munin в сообщении #647124 писал(а):

agdam в сообщении #646872 писал(а):

Этим вопросом не интересуюсь.

Значит, вы пришли только крикнуть в воздух.

Не стоило переспрашивать, ответ уже содержался далее в цитируемом сообщении. Только не «в воздух», а в Вечную Пустоту.

aku в сообщении #647418 писал(а):

По вашей формуле возникают следующие вопросы:

(Оффтоп)

Правильной дорогой идете, товарисч! – никому не верь, все проверяй сам!

[aku]

Someone в сообщении #647455 писал(а):

Да посчитайте сами и проверьте

Из моего предыдущего вопроса №4 подозреваю, что интеграл (102.5) берется лишь численным интегрированием. Крайне интересно было бы узнать, что получится и насколько совпадет с результатами agdam? Может быть, кто-нибудь пригласит для этого знакомого толкового студента с выч-мата или с физфака? Нам - удовольствие, а ему - Слава!

[Someone]

aku в сообщении #647806 писал(а):

Из моего предыдущего вопроса №4 подозреваю, что интеграл (102.5) берется лишь численным интегрированием.

То есть, Вы не умеете.

Вычисляем интеграл в формуле

$$c(t-t_0)=\sqrt{1-\frac{r_g}{r_0}}\int\limits_r^{r_0}\frac{dR}{\left(1-\frac{r_g}R\right)\sqrt{\frac{r_g}R-\frac{r_g}{r_0}}}\eqno{(102,5)}$$

из второго тома курса теоретической физики Ландау и Лифшица (я заменил в подынтегральном выражении обозначение переменной интегрирования $r$ на $R$, так как не люблю, когда обозначение переменной интегрирования совпадает с обозначением предела интегрирования).
Введём новую переменную:

$\rho=\sqrt{\frac{r_g}R-\frac{r_g}{r_0}}\Rightarrow\frac{r_g}R=\rho^2+\frac{r_g}{r_0}\Rightarrow R=\frac{r_g}{\rho^2+\frac{r_g}{r_0}}\Rightarrow dR=-\frac{2r_g\rho d\rho}{\left(\rho^2+\frac{r_g}{r_0}\right)^2}$, $1-\frac{r_g}R=1-\frac{r_g}{r_0}-\rho^2$.

Подставляем в интеграл:

$\int\frac{dR}{\left(1-\frac{r_g}R\right)\sqrt{\frac{r_g}R-\frac{r_g}{r_0}}}=\int\frac{-2r_g\rho d\rho}{\left(\rho^2+\frac{r_g}{r_0}\right)^2\left(1-\frac{r_g}{r_0}-\rho^2\right)\rho}=\int\frac{2r_gd\rho}{\left(\rho^2+\frac{r_g}{r_0}\right)^2\left(\rho^2-1+\frac{r_g}{r_0}\right)}=I$.

(Прошлый раз потерял множитель $\left(\rho^2+\frac{r_g}{r_0}\right)^2$ в знаменателе.)
Выделяем рациональную часть интеграла и разлагаем на простейшие дроби:

$\frac{2r_g}{\left(\rho^2+\frac{r_g}{r_0}\right)^2\left(\rho^2-1+\frac{r_g}{r_0}\right)}=\left(\frac{A\rho}{\rho^2+\frac{r_g}{r_0}}\right)'+\frac B{\rho^2+\frac{r_g}{r_0}}+\frac C{\rho^2-1+\frac{r_g}{r_0}}=$

$=\frac{A\left(\frac{r_g}{r_0}-\rho^2\right)}{\left(\rho^2+\frac{r_g}{r_0}\right)^2}+\frac B{\rho^2+\frac{r_g}{r_0}}+\frac C{\rho^2-1+\frac{r_g}{r_0}}$,

$2r_g=A\left(\frac{r_g}{r_0}-\rho^2\right)\left(\rho^2-1+\frac{r_g}{r_0}\right)+B\left(\rho^2+\frac{r_g}{r_0}\right)\left(\rho^2-1+\frac{r_g}{r_0}\right)+C\left(\rho^2+\frac{r_g}{r_0}\right)^2$;

$\rho^2=-\frac{r_g}{r_0}:\qquad\ \ 2r_g=A\cdot\frac{2r_g}{r_0}\cdot(-1)\Rightarrow A=-r_0$;
$\rho^2=1-\frac{r_g}{r_0}:\qquad 2r_g=C\Rightarrow C=2r_g$;
$\rho^4:\qquad\qquad\qquad 0=-A+B+C\Rightarrow B=A-C=-(2r_g+r_0)$.
Подставляем в интеграл:

$I=-\frac{r_0\rho}{\rho^2+\frac{r_g}{r_0}}-(2r_g+r_0)\int\frac{d\rho}{\rho^2+\frac{r_g}{r_0}}+2r_g\int\frac{d\rho}{\rho^2-\left(1-\frac{r_g}{r_0}\right)}=$

$=-\frac{r_0\rho}{\rho^2+\frac{r_g}{r_0}}-\frac{2r_g+r_0}{\sqrt{\frac{r_g}{r_0}}}\arctg\frac{\rho}{\sqrt{\frac{r_g}{r_0}}}+\frac{r_g}{\sqrt{1-\frac{r_g}{r_0}}}\ln\left|\frac{\rho-\sqrt{1-\frac{r_g}{r_0}}}{\rho+\sqrt{1-\frac{r_g}{r_0}}}\right|+\mathrm{C}=$

(возвращаемся к старой переменной $R$)

$$=-\frac{r_0\sqrt{\frac{r_g}R-\frac{r_g}{r_0}}}{\frac{r_g}R}-(2r_g+r_0)\sqrt{\frac{r_0}{r_g}}\arctg\sqrt{\frac{r_0}{r_g}\left(\frac{r_g}R-\frac{r_g}{r_0}\right)}+\frac{r_g}{\sqrt{1-\frac{r_g}{r_0}}}\ln\left|\frac{\sqrt{\frac{r_g}R-\frac{r_g}{r_0}}-\sqrt{1-\frac{r_g}{r_0}}}{\sqrt{\frac{r_g}R-\frac{r_g}{r_0}}+\sqrt{1-\frac{r_g}{r_0}}}\right|+\mathrm{C}$$

Теперь умножаем это на множитель $\sqrt{1-\frac{r_g}{r_0}}$, стоящий в формуле (102,5) перед интегралом, и подставляем пределы интегрирования. После некоторых упрощений получаем

$$c(t-t_0)=\sqrt{\frac{r_0}{r_g}-1}\left(r\sqrt{\frac{r_0}r-1}+(2r_g+r_0)\arctg\sqrt{\frac{r_0}r-1}\right)+$$

$$+r_g\left(\ln\left(\sqrt{\frac{r_g}r-\frac{r_g}{r_0}}+\sqrt{1-\frac{r_g}{r_0}}\right)^2-\ln\left(1-\frac{r_g}r\right)\right).$$

Занятно, что вторая половина полученного выражения в точности совпадает с тем выражением, которое получилось прошлый раз. За асимптотику при $r\to r_g^+$ отвечает самое последнее слагаемое $-r_g\ln\left(1-\frac{r_g}r\right)$, которое эквивалентно указанному после формулы (102,5) $-r_g\ln(r-r_g)$.

aku в сообщении #647806 писал(а):

Крайне интересно было бы узнать, что получится и насколько совпадет с результатами agdam?

Не совпадает. Асимптотика интеграла такова, что для чёрной дыры с $r_g=10$ км вблизи горизонта "расстояние" до горизонта $r-r_g$ убывает в $1000$ раз за время $0{,}00023$ секунды по часам удалённого наблюдателя, поэтому вот здесь

agdam в сообщении #646458 писал(а):

Возьмем, к примеру, для начала: масса в 3 солнечных, начальный радиус 1000000 км, гравитационный радиус 10 км. Какова будет зависимость времени коллапса tc от высоты H=r-rg? Примерно так:
H=1 mm, tc=около получаса, причем и по координатному и по собственному времени
H=1 mkm, tc=около месяца
H=1 nm, tc=несколько лет

никаких месяцев и лет не будет. Будет, соответственно, $1656{,}936321$ секунды, $1656{,}936552$ секунды, $1656{,}936782$ секунды. Простые численные методы в такой ситуации могут сильно врать из-за ошибок округления.