Проверить уравнение непрерывности

[grandmix]

Здравствуйте, тут такая задача, никак не могу решить и прояснить что же конкретно я не понимаю.(Алексеев1977. Электродинамика , номер 246)
Заряд e совершает колебание вдоль оси x по закону x=asin(wt), написать выражение для объемной плотности $\rho$ заряда и объемной плотности$\bar{\iota } (\bar{\ r}, \ t )$ тока, проверить для них справедливость уравнения непрерывности, а именно
$ \nabla\bar{\iota } +\frac{\partial \rho }{\partial t}=0$
у меня получилось $\rho=e\sigma(x-a\sin(\omega t))\sigma(y)\sigma(z) $
${\iota _{x}}=a\rho \omega \cos(\omega t)
${\iota _{y}}=0$
${\iota _{z}}=0$$
это сходится с ответом в задачнике, но как теперь с этим работать при подстановке в уравнение непрерывности? надо учитывать дельта функцию? тогда брать от неё производную? или же она не зависит ни от чего? ничего не понимаю!
и еще нужно найти среднее по времени за период объемные плотности заряда и тока. Для заряда я нашел, а для тока не получается ,
я считаю, что среднее по времени за период это
$\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{\bar{\iota } (\bar{ \ r}, \ t )}\ dt$
так ли это?
Если возможно , укажите пожалуйста , что я именно не понимаю для решения этой задачи, заранее спасибо!

[Munin]

Сигму вы вместо дельты пишете? Это неправильное обозначение. И для тока обозначение не йота, а латинская i, а без точки, чтобы ставить над ней всякие надчёркивания - \imath: $i,\imath.$

Да, надо учитывать дельта-функцию. Производная от дельта-функции - это функция с двумя бесконечными скачками подряд в нуле, один вверх, другой вниз. Они ещё более бесконечные (интеграл от них бесконечность, а не единица), и ещё более узкие, чем скачок самой дельта-функции. Никаких специальных обозначений для неё нет, её так и называют и обозначают - производная от дельта-функции, $\delta'(x).$

Вычислять её вам не потребуется, достаточно будет того, что она сократится в разных членах уравнения непрерывности.

Среднее за период - правильно написано. Теперь возьмите любую точку $\bar{r},$ и глядя на интеграл, подумайте, в какие моменты времени на протяжении периода подынтегральная функция не равна нулю.

[grandmix]

большой спасибо за ответ! это я по ошибке спутал сигма с дельтой как функцию Хевисайда, по поводу производной дельта функции хотел бы уточнить, на вики написано что
я так понимаю этим мне и нужно будет воспользоваться в крайнем случае?
сейчас подумаю в какие моменты времени на протяжении периода подынтегральная функция не равна нулю.

[Munin]

grandmix в сообщении #646555 писал(а):

я так понимаю этим мне и нужно будет воспользоваться в крайнем случае?

Ну совсем в крайнем. Я думаю, до этого не дойдёт. Замена переменной - вот что вам нужно будет. Для этого надо будет перенести штрих с дельта-функции на то, на что она умножена, и заменить переменную под дельта-функцией.

[grandmix]

Munin, если не трудно посмотрите решение для непрерывности , оформил немного коряво, был в поисках.

Я посчитал, что под дельта функцией $\delta ( x- \sin wt)$ стоит какой-то аргумент $p ( x- \sin wt) = p(x,t)$ (т.е. как раз и сделал замену) и потом по стандартным правилам взял частные производные и подставил, ноль похоже получается и без нахождения производных дельта функций, если решать так

[Munin]

Да, похоже, это именно то, что от вас требовалось.