цепь на конусе

[Oleg Zubelevich]

Концы однородной цепочки массы $m$, длины $l$ соединены. Эту петлю набрасывают на прямой круговой конус с углом раствора $2\alpha$. Поверхность конуса гладкая. Сила тяжести параллельна оси конуса.
Найти возможные положения равновесия цепочки.

[zhoraster]

(Оффтоп)

А что, всерьез масса нужна?

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Масса из формул как-то быстро посокращалась, так, что нет, не нужна.
Я сперва условие выложил, а потом только сам прорешал. Задача оказалась на редкость красивой и содержательной.

[Oleg Zubelevich]

Ведем декартову систему координат XYZ так, что ось Z направлена вниз вдоль оси конуса. И совместим ее с цилиндрической системой координат $(z,r,\psi),\quad x=r\cos\psi,\quad y=r\sin \psi.$ Тогда уравнение конуса имеет вид $z=ar,\quad a=\ctg\alpha$
Элемент длины на поверхности конуса выражается формулой

$$ds=\sqrt{(1+a^2)r_\psi^2+r^2}d\psi,$$

в предположении, что кривая может быть определена уравнением $r=r(\psi)$.
Высота центра масс цепочки находится по формуле

$$H[r(\cdot)]=\frac{a}{l}\int_0^{2\pi }r(\psi)ds,\quad r(0)=r(2\pi )$$

Положения равновесия цепочки соответствуют экстремалям функционала $H$ при условии

$$\int_0^{2\pi }ds=l.\qquad(*)$$

Отсюда получаем лагранжиан со множителем Лагранжа

$$L(r_\psi,r)=\Big(\frac{a}{l}r+\lambda \Big)\sqrt{(1+a^2)r_\psi^2+r^2}.$$

Соответствующее решение уравнения Лагранжа должно иметь период $2\pi$

Интеграл энергии $h=r_\psi L_{r_\psi}-L$ приобретает вид

$$-\Big(\frac{a}{l}r+\lambda \Big)r^2=h\sqrt{(1+a^2)r_\psi^2+r^2}\qquad (**)$$

or

$$(1+a^2)r_\psi^2+r^2-\frac{1}{h^2}\Big(\frac{a}{l}r+\lambda \Big)^2r^4=0$$

После замены переменной $r=\frac{\lambda l}{a}\rho$ (в дальнейшем становится понятно, что $\lambda<0$ и $\rho<0$)
последнее уравнение приобретает вид

$$(1+a^2)\rho_\psi^2+\rho^2-u\Big(\rho+1 \Big)^2\rho^4=0,\quad u=\frac{\lambda^4l^2}{h^2a^2}$$

В этом уравненини надо так подобрать константу $u$ что бы оно имело $2\pi-$периодическое решение, причем функция должна быть $\rho(\psi)+1$ знакопостоянна, это следует из (**)
Условие (*) после этой замены приобретает вид

$$\int_0^{2\pi}\sqrt{(1+a^2)\rho_\psi^2+\rho^2}d\psi=\frac{a}{|\lambda|}.$$

Независимо от функции $\rho$ выполнение этого уравнения обеспечивается выбором константы $\lambda$.

[Padawan]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #646174 писал(а):

Отсюда получаем лагранжиан со множителем Лагранжа

$$L(r_\psi,r)=\Big(\frac{a}{l}r+\lambda \Big)\sqrt{(1+a^2)r_\psi^2+r^2}.$$

Соответствующее решение уравнения Лагранжа должно иметь период $2\pi$

Интеграл энергии $h=r_\psi L_{r_\psi}-L$ приобретает вид

$$-\Big(\frac{a}{l}r+\lambda \Big)r^2=h\sqrt{(1+a^2)r_\psi^2+r^2}\qquad (**)$$

or

$$(1+a^2)r_\psi^2+r^2-\frac{1}{h^2}\Big(\frac{a}{l}r+\lambda \Big)^2r^4=0$$

До этого я дошел, но испугался уравнения (я только не знал, что $h$ называется интегралом энергии. Все-таки, интегралом именно энергии это будет, если $\psi$ -- это время ???)

-- Пн ноя 19, 2012 16:18:33 --

Oleg Zubelevich в сообщении #646174 писал(а):

в предположении, что кривая может быть определена уравнением $r=r(\psi)$.

А если не предполагать, а искать $x=x(t), y=y(t)$, $t\in [0,2\pi]$ ? Я так пробовал, тоже получаются два страшных уравнения. Обязательно ли положение равновесия может быть задано в виде $r=r(\psi)$ ?

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #646412 писал(а):

Обязательно ли положение равновесия может быть задано в виде $r=r(\psi)$ ?

на доказательном уровне не знаю, а языком молоть не хочу, меня в первую очередь интересовало, если какие -нибудь положения равновесия кроме тривиального

Padawan в сообщении #646412 писал(а):

$$(1+a^2)r_\psi^2+r^2-\frac{1}{h^2}\Big(\frac{a}{l}r+\lambda \Big)^2r^4=0$$

До этого я дошел, но испугался уравнения

Надо рассматривать уравнение на $\rho$ см ниже. Строится фазовый портрет на плоскости $(\rho,\rho_\psi)$ и там хорошо видно семейство замкнутых траекторий окружающих центр, лежащий на оси $\rho$. Все замнутые траектории заключены между вертикальными прямыми $\rho=0,\quad \rho=-1$ Центру соответствует тривиальное положение равновесия, когда цепочка вся находится в горихонтальной плоскости.
С ростом $u$ (это я не доконца проверил) периоды периодических решений растут, это значит, что должно быть решение с периодом $2\pi$ и это будет соответствовать еще одному положению равновесия цепочки. Зависимость периода от $u$ выражается явно через интеграл, дальше я пока внимательно не вглядывался.

-- Пн ноя 19, 2012 13:51:08 --

Padawan в сообщении #646412 писал(а):

Все-таки, интегралом именно энергии это будет, если $\psi$ -- это время ???)

у нас этот интеграл всегда называется интегралом энергии или обобщенным интегралом энергии, это просто жаргон

[Oleg Zubelevich]

вычисления показывают, что при некоторых $\alpha$ цепочка имеет не менее двух нетривиальных положений равновесия

[OchkovVF]

Уважаемый Олег Эдуардович!
См. продолжение темы замкнутой цепочки здесь

http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/Closed-Chain.pdf

Буду рад услышать ваше мнение
С уважением
В.Очков