2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 цепь на конусе
Сообщение17.11.2012, 14:17 


10/02/11
6786
Концы однородной цепочки массы $m$, длины $l$ соединены. Эту петлю набрасывают на прямой круговой конус с углом раствора $2\alpha$. Поверхность конуса гладкая. Сила тяжести параллельна оси конуса.
Найти возможные положения равновесия цепочки.

 Профиль  
                  
 
 Re: цепь на конусе
Сообщение17.11.2012, 22:49 
Модератор
Аватара пользователя


30/06/10
980

(Оффтоп)

А что, всерьез масса нужна?

 Профиль  
                  
 
 Re: цепь на конусе
Сообщение17.11.2012, 23:12 


10/02/11
6786

(Оффтоп)

Масса из формул как-то быстро посокращалась, так, что нет, не нужна.
Я сперва условие выложил, а потом только сам прорешал. Задача оказалась на редкость красивой и содержательной.

 Профиль  
                  
 
 Re: цепь на конусе
Сообщение18.11.2012, 21:13 


10/02/11
6786
Ведем декартову систему координат XYZ так, что ось Z направлена вниз вдоль оси конуса. И совместим ее с цилиндрической системой координат $(z,r,\psi),\quad x=r\cos\psi,\quad y=r\sin \psi.$ Тогда уравнение конуса имеет вид $z=ar,\quad a=\ctg\alpha$
Элемент длины на поверхности конуса выражается формулой
$$ds=\sqrt{(1+a^2)r_\psi^2+r^2}d\psi,$$
в предположении, что кривая может быть определена уравнением $r=r(\psi)$.
Высота центра масс цепочки находится по формуле
$$H[r(\cdot)]=\frac{a}{l}\int_0^{2\pi }r(\psi)ds,\quad r(0)=r(2\pi )$$


Положения равновесия цепочки соответствуют экстремалям функционала $H$ при условии
$$\int_0^{2\pi }ds=l.\qquad(*)$$
Отсюда получаем лагранжиан со множителем Лагранжа
$$L(r_\psi,r)=\Big(\frac{a}{l}r+\lambda \Big)\sqrt{(1+a^2)r_\psi^2+r^2}.$$
Соответствующее решение уравнения Лагранжа должно иметь период $2\pi$

Интеграл энергии $h=r_\psi L_{r_\psi}-L$ приобретает вид
$$-\Big(\frac{a}{l}r+\lambda \Big)r^2=h\sqrt{(1+a^2)r_\psi^2+r^2}\qquad (**)$$
or
$$(1+a^2)r_\psi^2+r^2-\frac{1}{h^2}\Big(\frac{a}{l}r+\lambda \Big)^2r^4=0$$
После замены переменной $r=\frac{\lambda l}{a}\rho$ (в дальнейшем становится понятно, что $\lambda<0$ и $\rho<0$)
последнее уравнение приобретает вид
$$(1+a^2)\rho_\psi^2+\rho^2-u\Big(\rho+1 \Big)^2\rho^4=0,\quad u=\frac{\lambda^4l^2}{h^2a^2}$$
В этом уравненини надо так подобрать константу $u$ что бы оно имело $2\pi-$периодическое решение, причем функция должна быть $\rho(\psi)+1$ знакопостоянна, это следует из (**)
Условие (*) после этой замены приобретает вид
$$\int_0^{2\pi}\sqrt{(1+a^2)\rho_\psi^2+\rho^2}d\psi=\frac{a}{|\lambda|}.$$
Независимо от функции $\rho$ выполнение этого уравнения обеспечивается выбором константы $\lambda$.

 Профиль  
                  
 
 Re: цепь на конусе
Сообщение19.11.2012, 13:10 
Заслуженный участник


13/12/05
4518

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #646174 писал(а):
Отсюда получаем лагранжиан со множителем Лагранжа
$$L(r_\psi,r)=\Big(\frac{a}{l}r+\lambda \Big)\sqrt{(1+a^2)r_\psi^2+r^2}.$$
Соответствующее решение уравнения Лагранжа должно иметь период $2\pi$

Интеграл энергии $h=r_\psi L_{r_\psi}-L$ приобретает вид
$$-\Big(\frac{a}{l}r+\lambda \Big)r^2=h\sqrt{(1+a^2)r_\psi^2+r^2}\qquad (**)$$
or
$$(1+a^2)r_\psi^2+r^2-\frac{1}{h^2}\Big(\frac{a}{l}r+\lambda \Big)^2r^4=0$$

До этого я дошел, но испугался уравнения :-( (я только не знал, что $h$ называется интегралом энергии. Все-таки, интегралом именно энергии это будет, если $\psi$ -- это время ???)


-- Пн ноя 19, 2012 16:18:33 --

Oleg Zubelevich в сообщении #646174 писал(а):
в предположении, что кривая может быть определена уравнением $r=r(\psi)$.

А если не предполагать, а искать $x=x(t), y=y(t)$, $t\in [0,2\pi]$ ? Я так пробовал, тоже получаются два страшных уравнения. Обязательно ли положение равновесия может быть задано в виде $r=r(\psi)$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: цепь на конусе
Сообщение19.11.2012, 13:44 


10/02/11
6786
Padawan в сообщении #646412 писал(а):
Обязательно ли положение равновесия может быть задано в виде $r=r(\psi)$ ?

на доказательном уровне не знаю, а языком молоть не хочу, меня в первую очередь интересовало, если какие -нибудь положения равновесия кроме тривиального
Padawan в сообщении #646412 писал(а):
$$(1+a^2)r_\psi^2+r^2-\frac{1}{h^2}\Big(\frac{a}{l}r+\lambda \Big)^2r^4=0$$

До этого я дошел, но испугался уравнения

Надо рассматривать уравнение на $\rho$ см ниже. Строится фазовый портрет на плоскости $(\rho,\rho_\psi)$ и там хорошо видно семейство замкнутых траекторий окружающих центр, лежащий на оси $\rho$. Все замнутые траектории заключены между вертикальными прямыми $\rho=0,\quad \rho=-1$ Центру соответствует тривиальное положение равновесия, когда цепочка вся находится в горихонтальной плоскости.
С ростом $u$ (это я не доконца проверил) периоды периодических решений растут, это значит, что должно быть решение с периодом $2\pi$ и это будет соответствовать еще одному положению равновесия цепочки. Зависимость периода от $u$ выражается явно через интеграл, дальше я пока внимательно не вглядывался.

-- Пн ноя 19, 2012 13:51:08 --

Padawan в сообщении #646412 писал(а):
Все-таки, интегралом именно энергии это будет, если $\psi$ -- это время ???)

у нас этот интеграл всегда называется интегралом энергии или обобщенным интегралом энергии, это просто жаргон :D

 Профиль  
                  
 
 Re: цепь на конусе
Сообщение20.11.2012, 06:56 


10/02/11
6786
вычисления показывают, что при некоторых $\alpha$ цепочка имеет не менее двух нетривиальных положений равновесия

 Профиль  
                  
 
 Re: цепь на конусе
Сообщение02.09.2018, 09:42 


02/09/18
29
Уважаемый Олег Эдуардович!
См. продолжение темы замкнутой цепочки здесь

http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/Closed-Chain.pdf

Буду рад услышать ваше мнение
С уважением
В.Очков

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group