Сравнение колец

[coopersh]

Помогите, пожалуйста, сравнить:
1) $\mathbb Z [[T]] \otimes_{\mathbb Z} \mathbb Q$ и $\mathbb Q [[T]]$
2) $\prod_{n\in N}((\mathbb Z/ 2^{n}\mathbb Z) \otimes_{\mathbb Z} \mathbb Q)$ и $(\prod_{n\in N}\mathbb Z/ 2^{n}\mathbb Z) \otimes_{\mathbb Z} \mathbb Q$

Как сравнивать такие штуки? Буду очень признателен любой помощи по данному вопросу.

[fancier]

coopersh в сообщении #646138 писал(а):

Помогите, пожалуйста, сравнить:
1) $\mathbb Z [[T]] \otimes_{\mathbb Z} \mathbb Q$ и $\mathbb Q [[T]]$
2) $\prod_{n\in N}((\mathbb Z/ 2^{n}\mathbb Z) \otimes_{\mathbb Z} \mathbb Q)$ и $(\prod_{n\in N}\mathbb Z/ 2^{n}\mathbb Z) \otimes_{\mathbb Z} \mathbb Q$

Как сравнивать такие штуки? Буду очень признателен любой помощи по данному вопросу.

1) Исходя из универсального свойства тензорного произведения, постройте гомоморфизм колец $\mathbb Z [[T]] \otimes_{\mathbb Z} \mathbb Q\rightarrow \mathbb Q [[T]]$. Докажите что он инъективен. Будет ли он сюръективным?

2) Одна из этих групп будет нулевой, а другая -- нет.

[coopersh]

А почему вторая ненулевая во второй задаче?

[fancier]

coopersh в сообщении #646250 писал(а):

А почему вторая ненулевая во второй задаче?

Грубо говоря, если взять элемент произведения, отвечающий 1 во всех $\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z},$ то обнулить его можно только умножением на $2^n,$ где $n$ сколь угодно велико, что не может отвечать рациональному числу, поскольку знаменатель последнего ограничен.

[coopersh]

Плохо понимаю.. т.е. берем элемент $(1\otimes q)$? Но ведь если 1 занулится при умножении на $2^n$, то и $(1\otimes q)$ занулится. Или я что-то не то говорю..
А, и почему знаменатель ограничен?

[fancier]

Для любого конечного $n$ есть тождество:

$$(1,1,\ldots )\otimes 1=(0,\ldots 0,2^n,2^n,\ldots )\otimes \frac{1}{2^n}$$

(справа $n$ нулей, затем $2^n\mod 2^{n+1},\ldots $). Знаменатель справа не может расти неограниченно, так как число рационально. Вроде так.

[coopersh]

Вы написали в скобках через запятую, что это такое?

[fancier]

coopersh в сообщении #647841 писал(а):

Вы написали в скобках через запятую, что это такое?

Элемент $(\prod_{n\in N}\mathbb Z/ 2^{n}\mathbb Z) \otimes_{\mathbb Z} \mathbb Q$.