2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Собственные значения и векторы
Сообщение18.11.2012, 18:49 


29/08/11
1759
Есть матрица: $\begin{pmatrix}
2&1  &\frac{\sqrt{2}}{2} \\ 
1 &2  & \frac{\sqrt{2}}{2}\\ 
\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 3
\end{pmatrix}$

Нашел собственные значения: $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=4$.

Нахожу собственный вектор, соответствующий $\lambda_{1}=1$. Решаю систему, получаю: $x_{1}=-x_{2}, x_{3}=0, x_{2} - $ свободная переменная. А как теперь записать собственный вектор?

Литературу почитал, но везде как-то по-разному написано, и толком не понял. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные значения и веткоры
Сообщение18.11.2012, 18:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
Ну как по-разному? У Вас есть одна свободная переменная, то есть общий вид всех собственных векторов с данным собственным значением. Ну и возьмите любой из них, а остальные от него отличаются лишь числовым множителем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные значения и веткоры
Сообщение18.11.2012, 18:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Собственный вектор определяется с точностью до умножения на константу. Ведь все собственные векторы, соответствующие конкретному собственному значению, образуют линейное пространство размерности равной кратности этого значения.
В Вашем случае это все векторы $(-a,a,0)$, где $a$ произвольное число.
Например, вектор $(1,-1,0)$

++ я индексы не рассмотрел, думал, что $x_2=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные значения и векторы
Сообщение18.11.2012, 19:05 


29/08/11
1759
bot
gris
То есть свободным переменным придаем любые значения, например $1$, и тогда полученный вектор $(-1;0;1)$ будет собственным вектором, соответствующем данному собственному значению?

-- 18.11.2012, 20:09 --

Для проверки нашел вот что:
"Для того, чтобы проверить правильно ли найден собственный вектор необходимо данную матрицу перемножить на полученный собственный вектор и полученный собственный вектор перемножить с собственным числом, и эти произведение должны быть равны".

Но я не получаю равенства:
Изображение

-- 18.11.2012, 20:23 --

gris
В общем виде будет же $(-a,a,0)$ или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные значения и векторы
Сообщение18.11.2012, 19:36 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Limit79 в сообщении #646089 писал(а):
В общем виде будет же $(-a,a,0)$ или нет?
Да, так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные значения и векторы
Сообщение18.11.2012, 19:56 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Limit79 в сообщении #646076 писал(а):
Решаю систему, получаю: $x_{1}=-x_{2}, x_{3}=0, x_{2} - $ свободная переменная. А как теперь записать собственный вектор?

А этому вас должны были учить в курсе ЛА ранее -- как вообще записывать общее решение линейной однородной системы в векторном (в смысле столбцовом) виде. Тогда оно автоматически получается как некая произвольная линейная комбинация одного или нескольких (в зависимости от количества свободных переменных) столбцов, и вот эти-то столбцы и образуют базис в собственном подпространстве.

Кстати, к неоднородным системам это ровно так же относится. Просто однородные -- это очень частный случай, возникающий, например, вот и при поиске собственных векторов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные значения и векторы
Сообщение18.11.2012, 19:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Limit79, я там немного поправил. Не рассмотрел индексы и думал, что 0 в серединке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Собственные значения и векторы
Сообщение18.11.2012, 20:39 


29/08/11
1759
Ага, понял. Спасибо за помощь, господа.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group