Собственные значения и векторы

[Limit79]

Есть матрица: $\begin{pmatrix} 2&1 &\frac{\sqrt{2}}{2} \\ 1 &2 & \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 3 \end{pmatrix}$

Нашел собственные значения: $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=4$.

Нахожу собственный вектор, соответствующий $\lambda_{1}=1$. Решаю систему, получаю: $x_{1}=-x_{2}, x_{3}=0, x_{2} - $ свободная переменная. А как теперь записать собственный вектор?

Литературу почитал, но везде как-то по-разному написано, и толком не понял. Спасибо.

[bot]

Ну как по-разному? У Вас есть одна свободная переменная, то есть общий вид всех собственных векторов с данным собственным значением. Ну и возьмите любой из них, а остальные от него отличаются лишь числовым множителем.

[gris]

Собственный вектор определяется с точностью до умножения на константу. Ведь все собственные векторы, соответствующие конкретному собственному значению, образуют линейное пространство размерности равной кратности этого значения.
В Вашем случае это все векторы $(-a,a,0)$, где $a$ произвольное число.
Например, вектор $(1,-1,0)$

++ я индексы не рассмотрел, думал, что $x_2=0$

[Limit79]

bot
gris
То есть свободным переменным придаем любые значения, например $1$, и тогда полученный вектор $(-1;0;1)$ будет собственным вектором, соответствующем данному собственному значению?

-- 18.11.2012, 20:09 --

Для проверки нашел вот что:
"Для того, чтобы проверить правильно ли найден собственный вектор необходимо данную матрицу перемножить на полученный собственный вектор и полученный собственный вектор перемножить с собственным числом, и эти произведение должны быть равны".

Но я не получаю равенства:


-- 18.11.2012, 20:23 --

gris
В общем виде будет же $(-a,a,0)$ или нет?

[arseniiv]

Limit79 в сообщении #646089 писал(а):

В общем виде будет же $(-a,a,0)$ или нет?

Да, так.

[ewert]

Limit79 в сообщении #646076 писал(а):

Решаю систему, получаю: $x_{1}=-x_{2}, x_{3}=0, x_{2} - $ свободная переменная. А как теперь записать собственный вектор?

А этому вас должны были учить в курсе ЛА ранее -- как вообще записывать общее решение линейной однородной системы в векторном (в смысле столбцовом) виде. Тогда оно автоматически получается как некая произвольная линейная комбинация одного или нескольких (в зависимости от количества свободных переменных) столбцов, и вот эти-то столбцы и образуют базис в собственном подпространстве.

Кстати, к неоднородным системам это ровно так же относится. Просто однородные -- это очень частный случай, возникающий, например, вот и при поиске собственных векторов.

[gris]

Limit79, я там немного поправил. Не рассмотрел индексы и думал, что 0 в серединке.

[Limit79]

Ага, понял. Спасибо за помощь, господа.