Асимптотика теоретико-числовых постоянных

[Sonic86]

Пусть $p_k$ - числа, свободные от квадратов, содержащие ровно $k$ простых множителей.
Как известно

$$\sum\limits_{p_k\leqslant x}\frac{1}{p_k}=Q_k(\ln_2 x)+B_k+o(1),$$

где $Q_k$ - многочлен степени $k-1$, $B_k$ - постоянная ($B_1$ - постоянная Мертенса).
Хочу найти асимптотику $B_k$. Как их считать - идей совсем нет. Даже численно посчитать нереально. Как ее искать?

[Руст]

Если бы вид асимптотики был как многочлен, то отпало бы необходимость в $B_k$ (нулевой коэффициент многочлена явился бы им).
Старший член находится не сложно как $\frac{(\ln \ln x)^k}{k!}$. Я не уверен, что остальное является многочленом от двойного логарифма при $k>1$.

[Sonic86]

Руст в сообщении #646017 писал(а):

Если бы вид асимптотики был как многочлен, то отпало бы необходимость в $B_k$ (нулевой коэффициент многочлена явился бы им).

А, ну да, надо добавить ограничение, что $Q_k(0)=0$ - многочлен без свободного члена.

Руст в сообщении #646017 писал(а):

Старший член находится не сложно как $\frac{(\ln \ln x)^k}{k!}$. Я не уверен, что остальное является многочленом от двойного логарифма при $k>1$.

Я уверен Ну или давайте предположим, что это так. Доказать не докажу - длинно слишком.
Я пытался по аналогии с вычислением постоянной Мертенса - брать произведение $\prod\limits_{p_k\leqslant x}\left(1-\frac{1}{p_k}\right)$, но не знаю, как его считать. Сравнивать с $\left(\prod\limits_{p\leqslant x}\frac{1}{p}\right)^k$ тоже бесполезно - разность к нулю не стремится.